Análisis

Antes de nada: el dominio

El dominio de $f$, $\text{Dom}(f)$, es el conjunto de valores de $x$ para los que $f(x)$ se puede calcular. Es lo primero que se escribe en un estudio de funciones, porque fuera de él no hay nada que estudiar: ni límites, ni derivada, ni asíntotas. Tres casos se repiten en el examen:

Polinomios, exponenciales, senos y cosenos están definidos en todo $\mathbb{R}$. Los puntos que se quedan fuera del dominio (o en su borde), junto con los empalmes de las funciones a trozos, son los candidatos a asíntota vertical.

Indeterminaciones y cómo salir de ellas

Comparar infinitos: quién crece más deprisa

En un límite $\tfrac{\infty}{\infty}$ cuando $x\to+\infty$ el resultado se anticipa sin cálculos si se sabe qué infinito es de orden superior, es decir, cuál crece más deprisa. De menor a mayor:

En el cociente, si el numerador es de orden superior el límite es $\pm\infty$; si lo es el denominador, vale $0$ (por ejemplo, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{e^x} = 0$); y si son del mismo orden, como dos polinomios del mismo grado, queda el cociente de los coeficientes principales: $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x}{5x^2+2} = \frac{3}{5}$.

Tipos de discontinuidad

Si no coinciden las tres cosas de la definición (los dos límites laterales y el valor), $f$ es discontinua en $x_0$, y qué falla decide el tipo:

Se llama evitable porque basta redefinir $f(x_0)$ como el valor del límite para que la función pase a ser continua. Las dos de salto son inevitables (algunos libros las llaman esenciales): ningún valor de $f(x_0)$ las arregla. En el examen, di siempre el tipo y justifícalo con los límites laterales.

Teorema de Bolzano: asegurar que hay una raíz

Es la herramienta del enunciado «demuestra que la ecuación … tiene al menos una solución en el intervalo…». El guion: pasa todo a un miembro para tener $f(x) = 0$, justifica la continuidad en $[a,b]$ y muestra el cambio de signo. Por ejemplo, $x^3 + x - 1 = 0$ tiene una solución en $(0,1)$: $f(x) = x^3 + x - 1$ es un polinomio (continua), $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 1 > 0$.

Asíntotas

Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca indefinidamente cuando $x$ o $f(x)$ se van a infinito. Hay tres tipos, y cada uno se busca con un límite:

Ejemplo: $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$. En $x = 1$ el denominador se anula y el numerador no: asíntota vertical $x = 1$ ($-\infty$ por la izquierda, $+\infty$ por la derecha). No hay horizontal (el grado del numerador es mayor), pero $m = \lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{x^2}{x^2-x} = 1$ y $n = \lim\limits_{x\to\pm\infty}\Big(\dfrac{x^2}{x-1} - x\Big) = \lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{x}{x-1} = 1$: asíntota oblicua $y = x + 1$.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

• Aplicar L'Hôpital sin comprobar (ni mencionar) que hay $0/0$ o $\infty/\infty$.
• Evaluar solo un límite lateral en las funciones a trozos.
• Tratar $k/0$ como indeterminación: es $\pm\infty$, y el signo se estudia por cada lado.
• Olvidar comprobar el valor de la función en el punto (puede coincidir el límite y fallar $f(x_0)$).
• Derivar el cociente completo (regla del cociente) al aplicar L'Hôpital: se derivan numerador y denominador por separado.

La recta normal

La normal en $x_0$ es la recta que pasa por el mismo punto $(x_0, f(x_0))$ y es perpendicular a la tangente. Dos rectas perpendiculares tienen pendientes $m$ y $-\tfrac{1}{m}$, así que:

Ejemplo: para $f(x) = x^2$ en $x_0 = 1$ son $f(1) = 1$ y $f'(1) = 2$; tangente $y = 1 + 2(x-1)$ y normal $y = 1 - \tfrac12 (x-1)$. La trampa típica es cambiar solo el signo o solo invertir la pendiente: hay que hacer las dos cosas.

La derivada como límite

La pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las secantes que unen $(x_0, f(x_0))$ con un punto de la curva cada vez más cercano:

Además de pendiente, la derivada es un ritmo de cambio: si $f$ da la posición, $f'$ da la velocidad. Con $f(x) = x^2$: $\dfrac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h} = 2x_0 + h \to 2x_0$. En el examen la definición aparece sobre todo en las funciones a trozos, donde se calculan por separado las derivadas laterales ($h\to 0^-$ y $h\to 0^+$).

Derivabilidad: el empalme, otra vez

$f$ es derivable en $x_0$ si las dos derivadas laterales existen, son finitas y coinciden: $f'(x_0^-) = f'(x_0^+)$. La relación con la continuidad va en un solo sentido:

En una función a trozos con parámetros el orden es fijo: primero se impone la continuidad en el empalme y después la igualdad de las derivadas laterales, derivando cada trozo. Por ejemplo, con $f(x) = x^2$ si $x \le 1$ y $f(x) = ax + b$ si $x > 1$: continuidad, $1 = a + b$; derivabilidad, $2 = a$. Luego $a = 2$ y $b = -1$.

El estudio completo de una función, en orden

1. Deriva y resuelve $f'(x) = 0$: son los candidatos a extremo.
2. Estudia el signo de $f'$ en cada intervalo: donde $f' > 0$ crece; donde $f' < 0$ decrece.
3. Clasifica: si $f'$ pasa de $+$ a $-$, máximo; de $-$ a $+$, mínimo (o usa el signo de $f''$).

Curvatura y puntos de inflexión

La derivada segunda dice cómo se curva la gráfica. Con el convenio habitual en la PAU de Andalucía:

Un punto de inflexión es un punto de la gráfica en el que $f$ es continua y cambia la curvatura. Se busca como los extremos, un escalón más arriba: candidatos donde $f''(x) = 0$ (o no existe) y confirmación con el cambio de signo de $f''$. En $f(x) = x^3 - 3x$ es $f''(x) = 6x$: cóncava en $(-\infty, 0)$, convexa en $(0, +\infty)$ e inflexión en $(0, 0)$. De paso, $f''$ también clasifica extremos: si $f'(x_0) = 0$ y $f''(x_0) < 0$, máximo; si $f''(x_0) > 0$, mínimo.

Extremos absolutos en un intervalo cerrado

Los extremos relativos son locales; el máximo y el mínimo absolutos son el mayor y el menor valor que toma $f$ en todo el intervalo. Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, el teorema de Weierstrass garantiza que los alcanza, y solo pueden estar en:

1. los puntos interiores con $f'(x) = 0$,
2. los puntos interiores donde $f$ no es derivable,
3. los extremos del intervalo, $x = a$ y $x = b$.

Se evalúa $f$ en todos y se comparan los valores. Con $f(x) = x^3 - 3x$ en $[0,3]$: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$ y $f(3) = 18$. Mínimo absoluto $-2$ en $x = 1$ y máximo absoluto $18$ en $x = 3$, un punto donde la derivada no se anula. Aquí no hace falta estudiar el signo de $f'$: basta comparar. Lo mismo vale en optimización cuando la variable está acotada.

Optimización: el guion de cuatro pasos

Los problemas «con historia» (la valla, la caja, la ventana…) se doman siempre igual:

1. Nombra las variables y escribe la función objetivo (lo que se maximiza o minimiza).
2. Usa la ligadura del enunciado para dejarla con una sola variable.
3. Deriva, iguala a cero y clasifica el candidato.
4. Responde a la pregunta del enunciado — con sus unidades, y comprobando que el resultado tiene sentido (una longitud no puede ser negativa).

Míralo

Teoremas de Rolle y del valor medio

Los dos piden las mismas hipótesis: $f$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$.

Rolle es el teorema del enunciado «¿se puede aplicar el teorema de Rolle a…?»: se comprueban una a una las hipótesis (las funciones a trozos o con $|x|$ suelen fallar la derivabilidad) y, si se cumplen, se halla $c$ resolviendo $f'(c) = 0$. También acota raíces: si $f'$ no se anula en un intervalo, $f$ no puede tener dos raíces en él, porque entre ellas habría un $c$ con $f'(c) = 0$. Junto con Bolzano, demuestra que una ecuación tiene exactamente una solución.

Ejemplo del valor medio: $f(x) = x^2$ en $[0,2]$ es un polinomio; la cuerda tiene pendiente $\tfrac{4 - 0}{2 - 0} = 2$, y $f'(c) = 2c = 2$ da $c = 1 \in (0,2)$.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

• Dar por extremo todo punto con $f' = 0$, sin estudiar el cambio de signo.
• En la tangente, usar $f'(x)$ general en vez de evaluarla en $x_0$ (la pendiente es un número).
• Equivocar la regla de la cadena o del cociente al derivar — y arrastrarlo todo.
• En optimización, derivar la función objetivo con dos variables sin haber usado la ligadura.
• No dar el valor de la función en el extremo (piden el punto $(x, f(x))$, no solo la $x$).

El teorema fundamental del cálculo

Barrow no es un truco: sale de este teorema, que liga integrar con derivar. Si $f$ es continua en $[a,b]$, la función integral

Es decir, $F$ es una primitiva de $f$, y de ahí sale Barrow. En el examen aparece cuando la variable está en el límite de integración: para estudiar $F$ no hace falta integrar, basta derivar. Por ejemplo, los candidatos a extremo de $F(x) = \displaystyle\int_0^x (t^2 - 1)\,dt$ son los puntos con $F'(x) = x^2 - 1 = 0$, es decir, $x = \pm 1$. Si el límite superior es una función, se añade la regla de la cadena: $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f\big(g(x)\big)\,g'(x)$.

El método del área entre dos curvas

1. Encuentra los puntos de corte resolviendo $f(x) = g(x)$: son los límites de integración.
2. Decide quién va por encima en cada tramo (evalúa un punto intermedio).
3. Integra arriba menos abajo en cada tramo y suma: $\displaystyle A = \int_a^b \big(f - g\big)\,dx$.

Míralo

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los 211 problemas de este apartado.

• Integrar sin buscar antes los puntos de corte, o usar límites del enunciado que no son los del recinto.
• No partir la integral cuando las curvas se cruzan dentro del intervalo.
• Restar en el orden equivocado y dar un área negativa sin inmutarse.
• Olvidar la constante en las primitivas (en las indefinidas) o equivocar una primitiva inmediata básica.
• No dar las unidades: las áreas van en $\text{u}^2$.

Si tuvieras que quedarte con seis frases del bloque entero, serían éstas:

1. Continuidad en un empalme: límite por la izquierda = límite por la derecha = valor. Tres comprobaciones, no una.
2. L'Hôpital solo con $0/0$ o $\infty/\infty$, dilo por escrito, y se derivan numerador y denominador por separado.
3. La derivada es la pendiente: la tangente es $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, con la pendiente ya evaluada.
4. $f' = 0$ da candidatos; el extremo lo confirma el cambio de signo (contraejemplo: $x^3$).
5. Optimización: función objetivo + ligadura → una variable → derivar y clasificar.
6. Áreas: cortes primero, arriba menos abajo, y partir la integral donde las curvas se crucen.