Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2013 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f : (0,+\infty)\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \dfrac{2\ln(x)}{x^{2}}

(donde

\ln

denota el logaritmo neperiano).

a) [1,75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b) [0,75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{2\,(1-2\ln x)}{x^{3}}, \quad \text{signo} = \text{signo}(1-2\ln x)\;}

\boxed{\;f'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; \ln x = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt e\;}

\boxed{\;\text{Crece en } (0,\sqrt e), \ \text{decrece en } (\sqrt e,\infty); \quad \text{máximo } \left(\sqrt e,\tfrac1e\right)\;}

\boxed{\;\text{b) A.V. } x = 0 \ (f\to-\infty); \qquad \text{A.H. } y = 0 \ (x\to+\infty)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Derivada de un cociente. Al simplificar aparece $x^{3}$ en el denominador, que es positivo en todo el dominio $(0,\infty)$ : el signo de $f'$ lo decide solo el numerador.
b) El dominio es $(0,+\infty)$ , así que hay dos bordes: $x\to0^{+}$ (posible asíntota vertical) y $x\to+\infty$ . En el infinito, el logaritmo pierde frente a la potencia, luego el cociente tiende a $0$ .

Desarrollo

a) La derivada.

f'(x) = \frac{\dfrac{2}{x}\cdot x^{2}-2\ln x\cdot 2x}{x^{4}} = \frac{2x-4x\ln x}{x^{4}} = \frac{2\,(1-2\ln x)}{x^{3}}

Puntos críticos. Como

x^{3}>0

(0,\infty)

, el signo es el de

1-2\ln x

1-2\ln x = 0 \;\Longrightarrow\; \ln x = \frac12 \;\Longrightarrow\; x = e^{1/2} = \sqrt{e} \approx 1{,}65

Signo de $f'$ .

0<x<\sqrt e: \; \ln x<\tfrac12 \;\Rightarrow\; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

x>\sqrt e: \; \ln x>\tfrac12 \;\Rightarrow\; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

\text{Crece en } \bigl(0,\sqrt e\bigr) \qquad \text{Decrece en } \bigl(\sqrt e,+\infty\bigr)

El extremo. Pasa de crecer a decrecer: máximo relativo (y absoluto).

f\bigl(\sqrt e\bigr) = \frac{2\ln\sqrt e}{\bigl(\sqrt e\bigr)^{2}} = \frac{2\cdot\frac12}{e} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368

\textbf{Máximo en } \left(\sqrt e,\; \frac1e\right)

b) Las asíntotas.

En $x\to0^{+}$ : el numerador

2\ln x\to-\infty

y el denominador

x^{2}\to0^{+}

\lim_{x\to0^{+}}\frac{2\ln x}{x^{2}} = \frac{-\infty}{0^{+}} = -\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 0

En $x\to+\infty$ : indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

; por L'Hôpital,

\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x^{2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2/x}{2x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}} = 0

\textbf{Asíntota horizontal: } y = 0

(Al haber asíntota horizontal en $+\infty$ , no hay oblicua; y $-\infty$ no está en el dominio.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al derivar, simplifica hasta dejar $\frac{2(1-2\ln x)}{x^{3}}$ : como $x^{3}>0$ en el dominio, el signo de $f'$ solo depende del paréntesis. Eso reduce el estudio a una desigualdad con logaritmos.

En $x\to0^{+}$ no hay indeterminación: $\frac{-\infty}{0^{+}}$ es directamente $-\infty$ . Aplicar L'Hôpital ahí sería un error conceptual.

El dominio es $(0,+\infty)$ : no estudies $-\infty$ . Y recuerda que $\ln\sqrt e = \frac12$ y $\bigl(\sqrt e\bigr)^{2} = e$ , que es lo que hace que el máximo salga tan limpio.