Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea la función

f

definida por

f(x) = \dfrac{e^{-x}}{1-x}

para

x\neq1

.

a) [1,25 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función

f

.

b) [1,25 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to1^{-}}f = +\infty, \ \lim_{x\to1^{+}}f = -\infty \;\Longrightarrow\; \text{A.V. } x = 1\;}

\boxed{\;\lim_{x\to+\infty}f = 0 \Rightarrow \text{A.H. } y = 0; \qquad \lim_{x\to-\infty}f = +\infty \ (\text{sin oblicua})\;}

\boxed{\;f'(x) = \frac{x\,e^{-x}}{(1-x)^{2}}, \quad \text{signo} = \text{signo}(x)\;}

\boxed{\;\text{Decrece en } (-\infty,0); \ \text{crece en } (0,1)\cup(1,\infty); \ \text{mínimo } (0,1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El denominador se anula en $x=1$ y el numerador no ( $e^{-1}\neq0$ ): asíntota vertical. En $\pm\infty$ los comportamientos son opuestos, porque $e^{-x}$ tiende a $0$ por la derecha y a $+\infty$ por la izquierda.
b) Derivada del cociente. Al simplificar, $e^{-x}$ sale factor común (y nunca se anula) y el denominador queda como un cuadrado: el signo lo decide un factor muy simple.

Desarrollo

a) Asíntota vertical. En

x=1

el numerador vale

e^{-1}>0

y el denominador se anula cambiando de signo:

\lim_{x\to1^{-}}\frac{e^{-x}}{1-x} = \frac{e^{-1}}{0^{+}} = +\infty \qquad \lim_{x\to1^{+}}\frac{e^{-x}}{1-x} = \frac{e^{-1}}{0^{-}} = -\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = 1

En $x\to+\infty$ . Numerador

\to0

y denominador

\to-\infty

\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{-x}}{1-x} = 0

\textbf{Asíntota horizontal: } y = 0 \text{ cuando } x\to+\infty

En $x\to-\infty$ . Ahora

e^{-x}\to+\infty

1-x\to+\infty

; la exponencial gana:

\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{-x}}{1-x} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to-\infty}\frac{-e^{-x}}{-1} = +\infty

No hay horizontal por ese lado. ¿Oblicua?

\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{e^{-x}}{x-x^{2}} = -\infty

\textbf{Sin asíntota oblicua: rama parabólica en } -\infty

b) La derivada.

f'(x) = \frac{-e^{-x}\,(1-x)-e^{-x}\,(-1)}{(1-x)^{2}} = \frac{e^{-x}\bigl[-(1-x)+1\bigr]}{(1-x)^{2}} = \frac{x\,e^{-x}}{(1-x)^{2}}

Signo. Como

e^{-x}>0

(1-x)^{2}>0

(para

x\neq1

), el signo es el de

x

x<0: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \textbf{decrece}

0<x<1 \ \text{ y } \ x>1: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \textbf{crece}

\text{Decrece en } (-\infty,\,0) \qquad \text{Crece en } (0,\,1)\cup(1,+\infty)

El extremo. En

x=0

la derivada pasa de negativa a positiva: mínimo relativo.

f(0) = \frac{e^{0}}{1-0} = 1

\textbf{Mínimo relativo en } (0,\, 1)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Estudia $+\infty$ y $-\infty$ por separado: $e^{-x}$ se comporta de forma opuesta en cada lado, y aquí solo hay asíntota horizontal en $+\infty$ .

Al derivar, saca $e^{-x}$ factor común en el numerador: el corchete se simplifica a $x$ y el estudio de signos queda trivial. Es el paso que ordena todo el apartado b).

Excluye $x=1$ de los intervalos de crecimiento aunque $f'$ no cambie de signo ahí: no está en el dominio, y la gráfica "salta" de $-\infty$ a $+\infty$ .