Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int\frac{x}{1+\sqrt{x}}\,dx

(sugerencia: $t = \sqrt{x}$ ).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt x \;\Longrightarrow\; x = t^{2},\; dx = 2t\,dt: \qquad \int\frac{2t^{3}}{t+1}\,dt\;}

\boxed{\;\frac{2t^{3}}{t+1} = 2t^{2} - 2t + 2 - \frac{2}{t+1} \;\Longrightarrow\; \frac{2t^{3}}{3} - t^{2} + 2t - 2\ln(t+1) + C\;}

\boxed{\;\int\frac{x\,dx}{1+\sqrt x} = \frac{2x\sqrt x}{3} - x + 2\sqrt x - 2\ln\bigl(\sqrt x + 1\bigr) + C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con el cambio sugerido,

t = \sqrt x

, se tiene

x = t^{2}, \qquad dx = 2t\,dt

y la raíz desaparece del denominador. Queda

\int\frac{t^{2}}{1+t}\cdot 2t\,dt = \int\frac{2t^{3}}{1+t}\,dt

una racional impropia (grado

3

arriba, grado

1

abajo) que se resuelve con una división.

Al ser una integral indefinida, hay que deshacer el cambio al final.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x = t^{2}, \qquad dx = 2t\,dt

\int\frac{x}{1+\sqrt x}\,dx = \int\frac{t^{2}}{1+t}\cdot 2t\,dt = \int\frac{2t^{3}}{t+1}\,dt

La división.

2t^{3} = (t+1)\bigl(2t^{2} - 2t + 2\bigr) - 2

(Comprobación: $(t+1)(2t^{2}-2t+2) = 2t^{3} - 2t^{2} + 2t + 2t^{2} - 2t + 2 = 2t^{3} + 2$ , y hay que restar $2$ .)

\frac{2t^{3}}{t+1} = 2t^{2} - 2t + 2 - \frac{2}{t+1}

Integración.

\int\left(2t^{2} - 2t + 2 - \frac{2}{t+1}\right)dt = \frac{2t^{3}}{3} - t^{2} + 2t - 2\ln|t+1| + C

Deshaciendo el cambio (

t = \sqrt x

, con

x\geq 0

, luego

t+1 > 0

\int\frac{x}{1+\sqrt x}\,dx = \frac{2\,x\sqrt{x}}{3} - x + 2\sqrt{x} - 2\ln\bigl(\sqrt{x}+1\bigr) + C

(Usando $t^{3} = x^{3/2} = x\sqrt x$ y $t^{2} = x$ .)

Comprobación (derivando):

\frac{d}{dx}\left[\frac{2x^{3/2}}{3} - x + 2x^{1/2} - 2\ln\bigl(\sqrt x + 1\bigr)\right] = \sqrt x - 1 + \frac{1}{\sqrt x} - \frac{2}{\sqrt x + 1}\cdot\frac{1}{2\sqrt x}

= \sqrt x - 1 + \frac{1}{\sqrt x} - \frac{1}{\sqrt x\,(\sqrt x + 1)} = \sqrt x - 1 + \frac{(\sqrt x + 1) - 1}{\sqrt x\,(\sqrt x + 1)} = \sqrt x - 1 + \frac{1}{\sqrt x + 1}

= \frac{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1) + 1}{\sqrt x + 1} = \frac{x - 1 + 1}{\sqrt x + 1} = \frac{x}{1+\sqrt x} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El cambio $t = \sqrt x$ trae un $dx = 2t\,dt$ que sube el grado del numerador: por eso la racional resultante es impropia y hay que dividir. Es el paso que más se salta.

Al ser una integral indefinida, no olvides deshacer el cambio: la respuesta debe estar en $x$ , no en $t$ . Y con $t = \sqrt x$ se tiene $t^{3} = x\sqrt x$ , no $x^{3}$ .

Como $x\geq 0$ implica $\sqrt x + 1 > 0$ , el valor absoluto del logaritmo se puede quitar. Derivar el resultado para comprobarlo es laborioso pero muy tranquilizador: todos los términos deben recombinarse en $\frac{x}{1+\sqrt x}$ .