Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2021 · Julio

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). Halla

a > 0

b > 0

sabiendo que la gráfica de la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = \frac{b\,x^{2}}{1 + a\,x^{4}}

tiene en el punto

(1, 2)

un punto crítico.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(1) = \frac{b}{1+a} = 2 \quad \text{y} \quad f'(1) = \frac{2b(1-a)}{(1+a)^{2}} = 0\;}

\boxed{\;a = 1, \qquad b = 4\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

"Tiene en el punto

(1,2)

un punto crítico" encierra dos condiciones, y hay que usar las dos:

La gráfica pasa por $(1,2)$ : $\;f(1) = 2$ .
Ese punto es crítico: $\;f'(1) = 0$ .

Con dos ecuaciones y dos incógnitas, el sistema sale. La derivada es un cociente, pero al simplificarla aparece un factor

\bigl(1 - a x^{4}\bigr)

que hace transparente dónde se anula.

Las condiciones

a > 0

b > 0

del enunciado sirven para descartar soluciones espurias: en particular, permiten dividir por

b

sin miedo.

Desarrollo

Primera condición: paso por $(1,2)$ .

f(1) = \frac{b}{1 + a} = 2 \;\Longrightarrow\; b = 2\,(1 + a)

Derivada. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{2bx\bigl(1 + ax^{4}\bigr) - bx^{2}\cdot 4ax^{3}}{\bigl(1 + ax^{4}\bigr)^{2}} = \frac{2bx + 2abx^{5} - 4abx^{5}}{\bigl(1 + ax^{4}\bigr)^{2}}

f'(x) = \frac{2bx - 2abx^{5}}{\bigl(1 + ax^{4}\bigr)^{2}} = \frac{2bx\bigl(1 - ax^{4}\bigr)}{\bigl(1 + ax^{4}\bigr)^{2}}

Segunda condición: punto crítico en $x = 1$ . El denominador no se anula nunca (es un cuadrado de algo positivo, porque

a>0

), así que

f'(1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2b\,(1 - a) = 0

Como

b > 0

por hipótesis, necesariamente

1 - a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Valor de $b$ .

b = 2\,(1 + 1) = 4

a = 1, \qquad b = 4

Comprobación. Con esos valores,

f(x) = \dfrac{4x^{2}}{1 + x^{4}}

f(1) = \frac{4}{2} = 2 \quad \checkmark

f'(x) = \frac{8x\bigl(1 - x^{4}\bigr)}{\bigl(1+x^{4}\bigr)^{2}} \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \quad \checkmark

(Además el punto es un máximo: $f'$ es positiva en $(0,1)$ y negativa en $(1,+\infty)$ . Y como $f$ es par y $f(x) \to 0$ en $\pm\infty$ , el valor $2$ es el máximo absoluto de la función, alcanzado también en $x=-1$ .)

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Consejo

"Tiene en el punto $(1,2)$ un punto crítico" son dos datos: que la gráfica pase por ahí y que la derivada se anule. Con una sola de las dos ecuaciones el sistema queda indeterminado. Es un enunciado corto que se lee rápido y se interpreta a medias.

Al derivar, simplifica antes de evaluar: sacar el factor común $2bx$ deja $f'(x) = \frac{2bx(1-ax^{4})}{(1+ax^{4})^{2}}$ , y de ahí se ve al instante que la derivada se anula donde $ax^{4} = 1$ . Sustituir $x=1$ en la expresión sin simplificar también funciona, pero invita a errores de signo con los dos términos en $x^{5}$ .