Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = -x^{2}+2x+3

.

a) [0,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

.

b) [0,75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

, la recta

2x+y-7 = 0

y el eje

OX

, calculando los puntos de corte.

c) [1,25 puntos] Halla el área del recinto descrito en el apartado anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } f(2) = 3,\ f'(2) = -2: \quad y = -2x+7 \ \ (\text{es la recta del enunciado})\;}

\boxed{\;\text{b) Cortes: } (-1,0) \ \text{(parábola-}OX), \ (2,3) \ \text{(tangencia)}, \ \left(\tfrac72,0\right) \ \text{(recta-}OX)\;}

\boxed{\;A = \int_{-1}^{2}\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr)dx+\int_{2}^{7/2}\bigl(7-2x\bigr)dx = 9+\frac94\;}

\boxed{\;A = \frac{45}{4} = 11{,}25 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay un detalle bonito que conviene descubrir pronto: la recta del apartado b),

2x+y-7 = 0

, es decir

y = 7-2x

, es exactamente la tangente calculada en a). Por eso solo toca a la parábola en

x=2

(contacto doble) y no la corta.

El recinto queda entonces limitado:

por la parábola desde $x=-1$ (su corte con $OX$ ) hasta $x=2$ (el punto de tangencia),
por la recta desde $x=2$ hasta $x=\frac72$ (su corte con $OX$ ),
y por el eje $OX$ por abajo.

Así que el área se calcula con dos integrales.

Desarrollo

a) La tangente en $x=2$ .

f(2) = -4+4+3 = 3 \qquad f'(x) = -2x+2 \;\Longrightarrow\; f'(2) = -2

y-3 = -2\,(x-2) \;\Longrightarrow\; y = -2x+7

Observación. La recta del enunciado,

2x+y-7 = 0

, es

y = 7-2x

: la misma recta.

b) Los puntos de corte.

Parábola con $OX$ :

-x^{2}+2x+3 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-2x-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\ x = 3

Recta con $OX$ :

7-2x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac72

Parábola con la recta:

-x^{2}+2x+3 = 7-2x \;\Longrightarrow\; x^{2}-4x+4 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^{2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \ (\text{doble})

\text{Cortes: } (-1,\,0), \quad (2,\,3), \quad \left(\frac72,\,0\right)

El recinto. Es la figura limitada por arriba por la parábola en

[-1,2]

y por la recta en

\left[2,\frac72\right]

, y por abajo por el eje

OX

.

c) El área.

A = \int_{-1}^{2}\bigl(-x^{2}+2x+3\bigr)dx+\int_{2}^{7/2}\bigl(7-2x\bigr)dx

Primera integral.

\left[-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+3x\right]_{-1}^{2} = \left(-\frac83+4+6\right)-\left(\frac13+1-3\right) = \frac{22}{3}-\left(-\frac53\right) = \frac{27}{3} = 9

Segunda integral. Es un triángulo de base

\frac72-2 = \frac32

y altura

f(2) = 3

\left[7x-x^{2}\right]_{2}^{7/2} = \left(\frac{49}{2}-\frac{49}{4}\right)-\bigl(14-4\bigr) = \frac{49}{4}-10 = \frac94

(Y en efecto, $\frac{1}{2}\cdot\frac32\cdot3 = \frac94$ $\checkmark$ )

El área total.

A = 9+\frac94 = \frac{45}{4} = 11{,}25 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Date cuenta de que la recta de b) es la tangente de a): al resolver el corte sale $(x-2)^{2} = 0$ , una raíz doble, señal inequívoca de tangencia. Eso define la forma del recinto.

Como el borde superior cambia en $x=2$ (de parábola a recta), el área necesita dos integrales. Con una sola obtendrías otra región.

La segunda integral es un triángulo: puedes calcularla con $\frac{1}{2}bh = \frac94$ y usar la integral como comprobación. Reconocer figuras elementales ahorra tiempo y detecta errores.