Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Determina la función

f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}

, sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto

(1, 0)

f'(e) = e

f''(x) = 2\ln(x) + 1

, para todo

x > 0

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 2x\ln x - x \qquad \text{y} \qquad f(x) = x^{2}\ln x - x^{2} + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de integración en dos pasos: se conoce

f''

y hay que llegar a

f

, así que hay que integrar dos veces, y cada integración deja una constante que se determina con uno de los datos.

El orden importa: primero se integra

f''

para obtener

f'

, y ahí se usa $f'(e) = e$ ; después se integra

f'

para obtener

f

, y se usa $f(1) = 0$ . Cada dato encaja con su nivel.

Las dos integrales son por partes, con el mismo esquema de siempre para los logaritmos:

u = \ln x

(que se deriva) y

dv

= el resto.

Desarrollo

Primera integración: de $f''$ a $f'$ .

f'(x) = \int \bigl(2\ln x + 1\bigr)\,dx = 2\int \ln x\,dx + \int dx

Para

\int \ln x\,dx

, por partes con

u = \ln x

(

du = dx/x

) y

dv = dx

(

v = x

\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x

f'(x) = 2\bigl(x\ln x - x\bigr) + x + C = 2x\ln x - 2x + x + C = 2x\ln x - x + C

Constante $C$ con el dato $f'(e) = e$ .

f'(e) = 2e\ln e - e + C = 2e - e + C = e + C

e + C = e \;\Longrightarrow\; C = 0

f'(x) = 2x\ln x - x

Segunda integración: de $f'$ a $f$ .

f(x) = \int \bigl(2x\ln x - x\bigr)\,dx = 2\int x\ln x\,dx - \int x\,dx

Para

\int x\ln x\,dx

, por partes con

u = \ln x

dv = x\,dx

(

v = x^{2}/2

\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}

f(x) = 2\left(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\right) - \frac{x^{2}}{2} + D = x^{2}\ln x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + D = x^{2}\ln x - x^{2} + D

Constante $D$ con el dato $f(1) = 0$ .

f(1) = 1\cdot\ln 1 - 1 + D = 0 - 1 + D

-1 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 1

f(x) = x^{2}\ln x - x^{2} + 1

Comprobación. Derivando dos veces:

f'(x) = 2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x} - 2x = 2x\ln x + x - 2x = 2x\ln x - x \quad \checkmark

f''(x) = 2\ln x + 2x\cdot\frac{1}{x} - 1 = 2\ln x + 2 - 1 = 2\ln x + 1 \quad \checkmark

Y los datos:

f(1) = 0 - 1 + 1 = 0

f'(e) = 2e - e = e

. Todo cuadra.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Usa cada dato en su momento. La condición $f'(e) = e$ habla de $f'$ , así que fija la constante de la primera integración en cuanto la tienes. Si arrastras las dos constantes hasta el final también se puede, pero $f$ lleva entonces un término $Cx$ de más y tienes que volver a derivarla para imponer $f'(e) = e$ : trabajo doble y más ocasiones de equivocarte.

Las dos integrales son por partes con $u = \ln x$ . La segunda esconde una trampa aritmética: $2\left(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\right)$ deja $-\frac{x^{2}}{2}$ , que se suma al $-\frac{x^{2}}{2}$ de $\int x\,dx$ y da $-x^{2}$ . Un despiste con esos cuartos y mitades te cambia toda la función.