Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{1}\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}} = 1 - \frac{2}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^{2}}\;}

\boxed{\;\int\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}}dx = x - 2\ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C\;}

\boxed{\;I = \Bigl[x - 2\ln(x+1) - \tfrac{2}{x+1}\Bigr]_{0}^{1} = -2\ln 2 + 2 = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}61\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional con el grado del numerador igual al del denominador y una raíz doble abajo. Toca:

Dividir, porque la fracción no es propia.
Descomponer el resto en fracciones simples con dos términos, $\dfrac{B}{x+1}$ y $\dfrac{C}{(x+1)^{2}}$ , por ser la raíz doble.

El atajo más limpio es el cambio $u = x+1$ : se sustituye

x = u-1

arriba, se desarrolla y se divide término a término entre

u^{2}

Desarrollo

Descomposición. Con

u = x+1

, es decir

x = u-1

x^{2} + 1 = (u-1)^{2} + 1 = u^{2} - 2u + 2

\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}} = \frac{u^{2} - 2u + 2}{u^{2}} = 1 - \frac{2}{u} + \frac{2}{u^{2}}

Deshaciendo el cambio:

\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}} = 1 - \frac{2}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^{2}}

(Comprobación en $x=0$ : $\;1 - 2 + 2 = 1$ , y directamente $\frac{0+1}{1} = 1\;\checkmark$ )

Integración término a término.

\int 1\,dx = x

\int\frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|

\int\frac{2}{(x+1)^{2}}\,dx = 2\int (x+1)^{-2}dx = -\frac{2}{x+1}

\int\frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}}\,dx = x - 2\ln|x+1| - \frac{2}{x+1} + C

Evaluación entre $0$ y $1$ .

En $x=1$ :

\;1 - 2\ln 2 - 1 = -2\ln 2

En $x=0$ :

\;0 - 2\ln 1 - 2 = -2

I = -2\ln 2 - (-2) = 2 - 2\ln 2

I = 2 - 2\ln 2 \approx 2 - 1{,}386 = 0{,}61

(El resultado es positivo, coherente con que el integrando lo sea en todo $[0,1]$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con raíz doble en el denominador hacen falta dos fracciones simples, $\frac{B}{x+1}$ y $\frac{C}{(x+1)^{2}}$ , además del término constante $A$ que aparece por tener grados iguales. Poner solo una deja la descomposición incompleta.

El cambio $u = x+1$ es la vía más rápida: sustituyes, desarrollas el cuadrado y divides entre $u^{2}$ . Plantear y resolver el sistema de coeficientes indeterminados también funciona, pero es más largo.

Al integrar, $\frac{2}{(x+1)^{2}}$ da $-\frac{2}{x+1}$ (regla de la potencia), no un logaritmo. Solo el término con exponente $-1$ produce logaritmo, y aquí es el del medio.