Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2020 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 5. Sea la función derivable

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} e^{2ax - 4b} & \text{si } x < 1 \\[4pt] 1 - x\ln x & \text{si } x \geq 1\end{cases}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

a) [1,75 puntos] Determina los valores de

a

b

.

b) [0,75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad: } e^{2a-4b} = 1 \Rightarrow 2a = 4b; \qquad \text{Derivabilidad: } 2a = -1\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -\frac{1}{2}, \qquad b = -\frac{1}{4}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad y = -(1 + \ln 2)\,x + 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

f

es derivable" en todo

\mathbb{R}

es la clave, y encierra dos condiciones en el punto de empalme

x = 1

Continuidad: los dos trozos valen lo mismo en $x=1$ .
Igualdad de derivadas laterales: $f'(1^{-}) = f'(1^{+})$ .

Como hay dos incógnitas, esas dos condiciones bastan. Además el orden importa: la continuidad da

2a - 4b = 0

, y la derivabilidad da directamente

a

.

En b),

x = 2 > 1

: se trabaja con la rama de abajo, sin más.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 1$ .

\lim_{x\to 1^{-}} f(x) = e^{2a - 4b}, \qquad f(1) = 1 - 1\cdot\ln 1 = 1 - 0 = 1

e^{2a - 4b} = 1 \;\Longrightarrow\; 2a - 4b = 0 \;\Longrightarrow\; a = 2b

Derivadas de cada rama.

x < 1: \quad f'(x) = 2a\,e^{2ax - 4b}

x > 1: \quad f'(x) = -\bigl(\ln x + x\cdot\tfrac{1}{x}\bigr) = -(\ln x + 1)

Igualdad en $x = 1$ . Usando ya

2a - 4b = 0

, la exponencial vale

1

f'(1^{-}) = 2a\,e^{0} = 2a, \qquad f'(1^{+}) = -(\ln 1 + 1) = -1

2a = -1 \;\Longrightarrow\; a = -\frac{1}{2}

b = \frac{a}{2} = -\frac{1}{4}

a = -\frac{1}{2}, \qquad b = -\frac{1}{4}

(Comprobación: $2a - 4b = -1 + 1 = 0\;\checkmark$ , luego la rama izquierda es $f(x) = e^{-x + 1}$ , con $f(1) = 1$ y $f'(1) = -1$ , igual que la derecha.)

b) Recta tangente en $x = 2$ . Como

2 \geq 1

, se usa

f(x) = 1 - x\ln x

f(2) = 1 - 2\ln 2 \approx -0{,}386

f'(2) = -(\ln 2 + 1) \approx -1{,}693

y - \bigl(1 - 2\ln 2\bigr) = -(\ln 2 + 1)\,(x - 2)

y = 1 - 2\ln 2 - (\ln 2 + 1)x + 2\ln 2 + 2

y = -(1 + \ln 2)\,x + 3

(Comprobación en $x = 2$ : $-(1+\ln 2)\cdot 2 + 3 = 1 - 2\ln 2 = f(2)\;\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Función derivable" en una función a trozos son dos condiciones, no una: primero continuidad, después igualdad de derivadas laterales. Y hay que imponerlas en ese orden, porque la de continuidad simplifica la exponencial ( $e^{0} = 1$ ) y deja la segunda ecuación trivial.

La derivada de $x\ln x$ es $\ln x + 1$ (regla del producto), no $\tfrac1x$ ni $\ln x$ . Con el signo menos delante queda $f' = -(\ln x + 1)$ , que en $x=1$ vale $-1$ .

Y en b) fíjate en qué rama toca: $x=2$ está en la zona $x\geq 1$ . Derivar la rama equivocada es un error caro y muy fácil de cometer con las prisas.