Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2014 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Calcula

\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{tg}\,x-\mathrm{sen}\,x}{x-\mathrm{sen}\,x}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{L'H 1: } \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\cos^{2}x}-\cos x}{1-\cos x} \quad \left(\text{sigue } \tfrac00\right)\;}

\boxed{\;\text{L'H 2: } \lim_{x\to0}\frac{\frac{2\,\mathrm{sen}\,x}{\cos^{3}x}+\mathrm{sen}\,x}{\mathrm{sen}\,x} = \lim_{x\to0}\left(\frac{2}{\cos^{3}x}+1\right)\;}

\boxed{\;= 2+1 = 3\;}

\boxed{\;\text{Taylor: } \frac{\mathrm{tg}\,x-\mathrm{sen}\,x}{x-\mathrm{sen}\,x} \sim \frac{x^{3}/2}{x^{3}/6} = 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Indeterminación

\frac00

que no se resuelve en un paso: numerador y denominador son infinitésimos de orden $3$ , así que harían falta tres aplicaciones de L'Hôpital. Tras la segunda, sin embargo, se puede simplificar $\mathrm{sen}\,x$ y el límite sale directamente (comprobando antes de cada paso que sigue habiendo

\frac00

).

La alternativa —y la comprobación— son los desarrollos de Taylor:

\mathrm{tg}\,x = x+\frac{x^{3}}{3}+\cdots \qquad \mathrm{sen}\,x = x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots

de donde numerador

\sim\frac{x^{3}}{2}

y denominador

\sim\frac{x^{3}}{6}

: el cociente tiende a

3

.

Recuerda que

\bigl(\mathrm{tg}\,x\bigr)' = \dfrac{1}{\cos^{2}x}

Desarrollo

Comprobación inicial. En

x=0

\;\mathrm{tg}\,0-\mathrm{sen}\,0 = 0\;

\;0-\mathrm{sen}\,0 = 0

. Indeterminación

\frac00

.

Primera aplicación de L'Hôpital.

\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{1}{\cos^{2}x}-\cos x}{1-\cos x}

x=0

: numerador

1-1 = 0

, denominador

1-1 = 0

. Sigue

\frac00

.

Segunda aplicación. Derivando (con

\bigl(\cos^{-2}x\bigr)' = \dfrac{2\,\mathrm{sen}\,x}{\cos^{3}x}

\lim_{x\to0}\frac{\dfrac{2\,\mathrm{sen}\,x}{\cos^{3}x}+\mathrm{sen}\,x}{\mathrm{sen}\,x}

Aquí ya se puede simplificar $\mathrm{sen}\,x$ (no nulo cerca de

0

salvo en

0

= \lim_{x\to0}\left(\frac{2}{\cos^{3}x}+1\right) = \frac{2}{1}+1 = 3

\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{tg}\,x-\mathrm{sen}\,x}{x-\mathrm{sen}\,x} = 3

Comprobación con desarrollos de Taylor.

\mathrm{tg}\,x-\mathrm{sen}\,x = \left(x+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\right)-\left(x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots\right) = \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots = \frac{x^{3}}{2}+\cdots

x-\mathrm{sen}\,x = x-\left(x-\frac{x^{3}}{6}+\cdots\right) = \frac{x^{3}}{6}+\cdots

\frac{\frac{x^{3}}{2}}{\frac{x^{3}}{6}} = \frac{6}{2} = 3 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Comprueba antes de cada aplicación que sigue habiendo $\frac00$ . Aquí hacen falta dos pasos (o tres si no simplificas), y aplicar L'Hôpital una vez de más da un resultado falso.

En el segundo paso, simplifica el $\mathrm{sen}\,x$ común en vez de volver a derivar: el límite sale de inmediato y te ahorras una derivada complicada.

$\bigl(\mathrm{tg}\,x\bigr)' = \frac{1}{\cos^{2}x}$ y $\bigl(\cos^{-2}x\bigr)' = \frac{2\,\mathrm{sen}\,x}{\cos^{3}x}$ : son las dos derivadas donde se pierden más puntos. Si te atascas, los infinitésimos ( $\mathrm{tg}\,x-\mathrm{sen}\,x\sim\frac{x^{3}}{2}$ , $x-\mathrm{sen}\,x\sim\frac{x^{3}}{6}$ ) resuelven el ejercicio en dos líneas.