Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Julio

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}

(para

x \neq -1

x \neq 1

). Halla una primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

(2, 4)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\;}

\boxed{\;F(x) = x + \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + 2 + \ln 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional con numerador y denominador del mismo grado. En ese caso lo primero es siempre dividir (o, lo que es igual de rápido, sumar y restar en el numerador para que aparezca el denominador):

\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} = \frac{\bigl(x^{2}-1\bigr) + 2}{x^{2}-1} = 1 + \frac{2}{x^{2}-1}

El resto,

\dfrac{2}{x^{2}-1}

, tiene raíces reales simples y se descompone en fracciones simples.

Al final, la constante se ajusta con el punto

(2,4)

. Conviene comprobar antes que

x=2

está en el mismo intervalo del dominio que se está usando, cosa que aquí ocurre (

x > 1

Desarrollo

División (sumar y restar).

\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} = \frac{x^{2} - 1 + 2}{x^{2}-1} = 1 + \frac{2}{x^{2}-1}

Fracciones simples. Con

x^{2} - 1 = (x-1)(x+1)

\frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} \;\Longrightarrow\; 2 = A\,(x+1) + B\,(x-1)

Con $x = 1$ : $\;2 = 2A \Longrightarrow A = 1$
Con $x = -1$ : $\;2 = -2B \Longrightarrow B = -1$

f(x) = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}

Integración.

F(x) = \int f(x)\,dx = x + \ln|x - 1| - \ln|x + 1| + C = x + \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C

Constante con el punto $(2,4)$ .

F(2) = 2 + \ln\left|\frac{1}{3}\right| + C = 2 - \ln 3 + C

2 - \ln 3 + C = 4 \;\Longrightarrow\; C = 2 + \ln 3

F(x) = x + \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + 2 + \ln 3

Comprobación. Derivando:

F'(x) = 1 + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{(x+1) - (x-1)}{x^{2}-1} = 1 + \frac{2}{x^{2}-1} = \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1} \quad \checkmark

(La primitiva se puede compactar agrupando los logaritmos: $F(x) = x + \ln\left|\dfrac{3(x-1)}{x+1}\right| + 2$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando numerador y denominador tienen el mismo grado, el cociente tiende a una constante y hay que extraerla: aquí, sumar y restar $1$ en el numerador es más rápido que montar la división formal, y deja $1 + \frac{2}{x^{2}-1}$ en un renglón.

No olvides los valores absolutos de los logaritmos ni la constante. Y si quieres comprobar el signo, fíjate en que el punto dado tiene $x = 2 > 1$ : ahí $\frac{x-1}{x+1}$ es positivo, así que las barras no cambian nada en ese tramo, pero sí son necesarias para que la primitiva valga en todo el dominio.