Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{2} + 3x + 4}{2x + 2} \qquad \text{para } x \neq -1

a) [1,5 puntos] Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x+1}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{A.V.: } x = -1; \quad \text{A. oblicua: } y = \tfrac{x}{2} + 1; \quad \text{sin asíntota horizontal}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(x) = \frac{(x+1)^{2}-2}{2(x+1)^{2}}: \text{ crece en } (-\infty,-1-\sqrt2)\cup(-1+\sqrt2,+\infty), \text{ decrece en el resto}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional con el numerador de un grado más que el denominador: eso anuncia asíntota oblicua (y por tanto, ninguna horizontal).

El movimiento clave es hacer la división del numerador entre el denominador. Se obtiene

f(x) = \underbrace{\frac{x}{2} + 1}_{\text{asíntota oblicua}} + \frac{1}{x+1}

y con esa forma todo cae solo: la oblicua se lee directamente, la vertical está donde se anula

x+1

, y la derivada queda mucho más sencilla de calcular y de estudiar.

Desarrollo

La división.

x^{2} + 3x + 4 = (2x+2)\left(\frac{x}{2} + 1\right) + 2

(En efecto: $(2x+2)\left(\frac{x}{2}+1\right) = x^{2} + 2x + x + 2 = x^{2}+3x+2$ , y falta $2$ .)

f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{2}{2x+2} = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x+1}

a) Asíntota vertical. El denominador se anula en

x = -1

, donde el numerador vale

1 - 3 + 4 = 2 \neq 0

\lim_{x\to -1^{-}} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x\to -1^{+}} f(x) = +\infty

\textbf{Asíntota vertical: } x = -1

Asíntota horizontal: no hay, porque

\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \pm\infty

Asíntota oblicua $y = mx + n$ . Con la descomposición ya está a la vista, pues

\dfrac{1}{x+1}\to 0

m = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2}, \qquad n = \lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x) - \frac{x}{2}\right) = 1

\textbf{Asíntota oblicua: } y = \frac{x}{2} + 1

(El resto $\frac{1}{x+1}$ es positivo si $x > -1$ y negativo si $x < -1$ : la curva va por encima de la asíntota a la derecha y por debajo a la izquierda.)

b) Monotonía. Derivando la forma descompuesta:

f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{(x+1)^{2}} = \frac{(x+1)^{2} - 2}{2\,(x+1)^{2}}

El denominador es siempre positivo, luego el signo lo da

(x+1)^{2} - 2

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; (x+1)^{2} = 2 \;\Longleftrightarrow\; x = -1 \pm \sqrt{2}

x \approx -2{,}41 \qquad \text{y} \qquad x \approx 0{,}41

\begin{array}{c|c|c|c} \text{Intervalo} & (x+1)^{2}-2 & f' & f \\ \hline (-\infty,\, -1-\sqrt2) & + & + & \text{creciente} \\ (-1-\sqrt2,\, -1) & - & - & \text{decreciente} \\ (-1,\, -1+\sqrt2) & - & - & \text{decreciente} \\ (-1+\sqrt2,\, +\infty) & + & + & \text{creciente}\end{array}

\text{Creciente en } (-\infty, -1-\sqrt2)\cup(-1+\sqrt2, +\infty); \quad \text{decreciente en } (-1-\sqrt2, -1)\cup(-1, -1+\sqrt2)

Extremos relativos.

f\bigl(-1-\sqrt2\bigr) = \frac{1}{2} - \sqrt2 \approx -0{,}91 \quad (\text{máximo relativo})

f\bigl(-1+\sqrt2\bigr) = \frac{1}{2} + \sqrt2 \approx 1{,}91 \quad (\text{mínimo relativo})

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide antes de derivar. Con $f = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x+1}$ , la derivada sale en una línea y las asíntotas se leen sin calcular límites. Si aplicas la regla del cociente a la expresión original, el numerador de $f'$ es un polinomio de grado 2 disfrazado y las raíces cuestan mucho más de encontrar.

El máximo relativo está por debajo del mínimo relativo ( $-0{,}91 < 1{,}91$ ). No es un error: la asíntota vertical separa las dos ramas de la gráfica, y cada extremo pertenece a una rama distinta. Por eso son relativos y no absolutos.

Y no olvides excluir $x=-1$ al escribir los intervalos de decrecimiento: la función no está definida ahí, así que son dos intervalos, no uno.