Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2011 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula el valor de

b>0

, sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva

\;y = \sqrt x\;

y la recta

\;y = bx\;

es de

\dfrac43

unidades cuadradas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\sqrt x = bx \;\Longrightarrow\; x = 0, \quad x = \dfrac{1}{b^{2}} \quad (b>0)\;}

\boxed{\;A(b) = \int_{0}^{1/b^{2}}\bigl[\sqrt x-bx\bigr]dx = \left[\tfrac23 x^{3/2}-\tfrac{b x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/b^{2}}\;}

\boxed{\;A(b) = \frac{2}{3b^{3}}-\frac{1}{2b^{3}} = \frac{1}{6b^{3}}\;}

\boxed{\;\frac{1}{6b^{3}} = \frac43 \;\Longrightarrow\; b^{3} = \frac18 \;\Longrightarrow\; b = \frac12\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de área inverso: se plantea el área en función de

b

y luego se resuelve la ecuación.

Los cortes dependen de $b$ : $\sqrt x = bx$ da $x=0$ y $x = \dfrac{1}{b^{2}}$ .
Entre ellos, la raíz va por encima de la recta (la raíz crece deprisa cerca de $0$ ).
Se integra la diferencia y se obtiene $A(b)$ ; la ecuación $A(b) = \frac43$ da el valor buscado.

Desarrollo

Los puntos de corte.

\sqrt x = b\,x \;\Longrightarrow\; \sqrt x\,\bigl(1-b\sqrt x\bigr) = 0

x = 0 \qquad \text{o} \qquad \sqrt x = \frac1b \;\Longrightarrow\; x = \frac{1}{b^{2}}

(Con $b>0$ el segundo corte es positivo, así que el recinto existe.)

¿Quién va arriba? En el punto medio

x = \dfrac{1}{2b^{2}}

\sqrt x = \frac{1}{b\sqrt2} \qquad \text{frente a} \qquad b\,x = \frac{1}{2b}

\frac{1}{b\sqrt2} > \frac{1}{2b} \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{\sqrt2} > \frac12 \quad \checkmark

La raíz está por encima en todo el intervalo.

El área en función de $b$ .

A(b) = \int_{0}^{1/b^{2}}\Bigl[\sqrt x-b\,x\Bigr]dx = \left[\frac23 x^{3/2}-\frac{b\,x^{2}}{2}\right]_{0}^{1/b^{2}}

Con

\left(\dfrac{1}{b^{2}}\right)^{3/2} = \dfrac{1}{b^{3}}

\left(\dfrac{1}{b^{2}}\right)^{2} = \dfrac{1}{b^{4}}

A(b) = \frac{2}{3b^{3}}-\frac{b}{2b^{4}} = \frac{2}{3b^{3}}-\frac{1}{2b^{3}} = \frac{4-3}{6b^{3}} = \frac{1}{6b^{3}}

La ecuación.

\frac{1}{6b^{3}} = \frac43 \;\Longrightarrow\; 6b^{3}\cdot4 = 3 \;\Longrightarrow\; b^{3} = \frac{3}{24} = \frac18

b = \frac12

Comprobación. Con

b = \frac12

los cortes son

x=0

x = 4

\int_{0}^{4}\left[\sqrt x-\frac{x}{2}\right]dx = \left[\frac23 x^{3/2}-\frac{x^{2}}{4}\right]_{0}^{4} = \frac23\cdot8-4 = \frac{16}{3}-4 = \frac43 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No calcules el área "a ojo" con cortes concretos: aquí los límites de integración dependen del parámetro. Deja $\frac{1}{b^{2}}$ escrito y evalúa al final.

Las potencias fraccionarias son la clave: $\left(b^{-2}\right)^{3/2} = b^{-3}$ . Si te lías, escribe $x^{3/2} = \bigl(\sqrt x\bigr)^{3}$ y sustituye $\sqrt x = \frac1b$ .

Termina siempre comprobando con el valor hallado: con $b=\frac12$ el recinto va de $0$ a $4$ y el área sale $\frac43$ exacta.