Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int \frac{-x^{2}}{x^{2}+x-2}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Mismo grado} \Rightarrow \text{dividir}: \quad \frac{-x^{2}}{x^{2}+x-2} = -1+\frac{x-2}{(x-1)(x+2)}\;}

\boxed{\;\frac{x-2}{(x-1)(x+2)} = -\frac{1}{3(x-1)}+\frac{4}{3(x+2)}\;}

\boxed{\;\int\frac{-x^{2}}{x^{2}+x-2}dx = -x-\frac13\ln\lvert x-1\rvert+\frac43\ln\lvert x+2\rvert+C\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional con numerador y denominador del mismo grado. Antes de descomponer en fracciones simples hay que dividir, porque las fracciones simples solo funcionan cuando el numerador tiene grado menor.

\text{grado}(-x^{2}) = 2 = \text{grado}(x^{2}+x-2) \;\Longrightarrow\; \textbf{dividir primero}

Después se factoriza el denominador (dos raíces reales simples) y se descompone el resto.

Desarrollo

La división. Como

-x^{2} = -\bigl(x^{2}+x-2\bigr)+(x-2)

\frac{-x^{2}}{x^{2}+x-2} = -1+\frac{x-2}{x^{2}+x-2}

Factorización del denominador.

x^{2}+x-2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1\pm3}{2} \;\Longrightarrow\; x = 1,\ x = -2

x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2)

Fracciones simples.

\frac{x-2}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2} \;\Longrightarrow\; x-2 = A(x+2)+B(x-1)

x = 1: \quad -1 = 3A \;\Longrightarrow\; A = -\frac13

x = -2: \quad -4 = -3B \;\Longrightarrow\; B = \frac43

El integrando descompuesto.

\frac{-x^{2}}{x^{2}+x-2} = -1-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{x+2}

Integrando.

\int\frac{-x^{2}}{x^{2}+x-2}\,dx = -x-\frac{1}{3}\ln\lvert x-1\rvert+\frac{4}{3}\ln\lvert x+2\rvert+C

Comprobación (derivando).

-1-\frac{1}{3(x-1)}+\frac{4}{3(x+2)} = \frac{-3(x-1)(x+2)-(x+2)+4(x-1)}{3(x-1)(x+2)}

= \frac{-3x^{2}-3x+6-x-2+4x-4}{3(x-1)(x+2)} = \frac{-3x^{2}}{3\bigl(x^{2}+x-2\bigr)} = \frac{-x^{2}}{x^{2}+x-2} \quad \checkmark

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Consejo

Divide antes de descomponer. Si el numerador no tiene grado estrictamente menor, las fracciones simples no existen y el sistema que plantees saldrá incompatible.

El signo del numerador es fácil de perder: al dividir $-x^{2}$ entre $x^{2}+x-2$ el cociente es $-1$ y el resto $x-2$ . Comprueba la identidad $-x^{2} = -(x^{2}+x-2)+(x-2)$ antes de seguir.

Para hallar $A$ y $B$ , sustituye las raíces del denominador: cada una anula uno de los dos términos y da la otra constante de golpe. Es mucho más rápido que igualar coeficientes.