Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2021 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea la función continua

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln\bigl(e^{x} + x^{3}\bigr)}{x} & \text{si } x < 0 \\[10pt] 4x^{2} + a & \text{si } 0 \leq x < 1 \\[6pt] b + \operatorname{sen}(\pi x) & \text{si } 1 \leq x \end{cases}

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano). Determina

a

b

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lim_{x\to 0^{-}} f(x) = 1 = f(0) = a \;\Longrightarrow\; a = 1\;}

\boxed{\;\lim_{x\to 1^{-}} f(x) = 5 = f(1) = b \;\Longrightarrow\; b = 5\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos puntos de empalme,

x = 0

x = 1

, y dos incógnitas: cada continuidad da una ecuación, y además se resuelven una detrás de otra, sin necesidad de montar ningún sistema (la de

x=0

solo contiene a

a

, y con

a

conocido la de

x=1

b

En $x = 0$ el límite por la izquierda es una indeterminación $\frac{0}{0}$ que hay que resolver (L'Hôpital o infinitésimos). El de la derecha es inmediato y vale $a$ .
En $x = 1$ los dos límites son inmediatos; lo único que hay que recordar es que $\operatorname{sen}(\pi) = 0$ .

Desarrollo

Continuidad en $x = 0$ .

Por la izquierda. En

x = 0

el numerador vale

\ln\bigl(e^{0} + 0\bigr) = \ln 1 = 0

y el denominador también: indeterminación

\frac{0}{0}

. Aplicando L'Hôpital:

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\ln\bigl(e^{x}+x^{3}\bigr)}{x} = \lim_{x\to 0^{-}}\frac{\dfrac{e^{x} + 3x^{2}}{e^{x} + x^{3}}}{1} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1

(También se ve con infinitésimos: $e^{x} + x^{3} = 1 + x + O(x^{2})$ , luego $\ln(e^{x}+x^{3}) \sim x$ y el cociente tiende a $1$ .)

Por la derecha (y valor en el punto).

f(0) = 4\cdot 0^{2} + a = a

Igualando:

a = 1

Continuidad en $x = 1$ .

Por la izquierda, con el segundo trozo y

a = 1

\lim_{x\to 1^{-}} \bigl(4x^{2} + 1\bigr) = 4 + 1 = 5

Por la derecha (y valor en el punto), con el tercer trozo:

f(1) = b + \operatorname{sen}(\pi) = b + 0 = b

Igualando:

b = 5

Solución.

a = 1, \qquad b = 5

Comprobación. La función queda

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln\bigl(e^{x}+x^{3}\bigr)}{x} & \text{si } x < 0 \\[8pt] 4x^{2} + 1 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\[4pt] 5 + \operatorname{sen}(\pi x) & \text{si } 1 \leq x \end{cases}

y en los dos empalmes los valores coinciden:

1

x=0

5

x=1

. Es continua en todo

\mathbb{R}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con dos puntos de empalme, resuélvelos en orden: primero $x=0$ , que da $a$ directamente, y con $a$ ya conocido, $x=1$ , que da $b$ . Plantear las dos ecuaciones a la vez como un sistema funciona, pero aquí no hace ninguna falta porque el primer empalme solo contiene a $a$ .

No des por hecho el límite de la izquierda: es una indeterminación $\frac{0}{0}$ de verdad y hay que resolverla. Y ojo con $\operatorname{sen}(\pi x)$ en $x=1$ : vale $\operatorname{sen}(\pi) = 0$ , no $1$ . Confundirlo te da $b = 4$ .