Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \bigl(x^{2}+3x+1\bigr)e^{-x}

.

a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de

f

.

b) [1 punto] Halla los puntos de la gráfica de

f

cuya recta tangente es horizontal.

c) [0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } \lim_{x\to+\infty}f = 0 \Rightarrow \text{A.H. } y=0; \quad \lim_{x\to-\infty}f = +\infty \text{ (rama parabólica)}\;}

\boxed{\;f'(x) = -e^{-x}\,(x-1)(x+2)\;}

\boxed{\;\text{b) Tangente horizontal en } \left(1,\tfrac5e\right) \text{ (máx.) y } \bigl(-2,-e^{2}\bigr) \text{ (mín.)}\;}

\boxed{\;\text{c) } f(0)=1,\ f'(0)=2: \quad y = 2x+1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) El dominio es todo $\mathbb{R}$ (no hay denominadores), así que no hay asíntotas verticales. Solo hay que estudiar $x\to\pm\infty$ . La clave es que la exponencial gana al polinomio: $\;x^{2}e^{-x}\to0$ cuando $x\to+\infty$ .
b) Tangente horizontal $\iff f'(x) = 0$ . Al derivar un producto con $e^{-x}$ , ese factor sale común y nunca se anula: solo hay que igualar a cero el polinomio que queda.
c) Aplicación directa de $y = f(0)+f'(0)\,x$ .

Desarrollo

a) Asíntotas verticales. Ninguna:

f

es continua en todo

\mathbb{R}

(producto de un polinomio por una exponencial).

Comportamiento en $+\infty$ .

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{e^{x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+3}{e^{x}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}} = 0

\textbf{Asíntota horizontal } y = 0 \text{ cuando } x\to+\infty

Comportamiento en $-\infty$ . Ahora

e^{-x}\to+\infty

y el polinomio también:

\lim_{x\to-\infty}\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)e^{-x} = (+\infty)(+\infty) = +\infty

No hay asíntota horizontal. ¿Y oblicua?

\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to-\infty}\frac{\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)e^{-x}}{x} = -\infty

\textbf{No hay asíntota oblicua: la rama es parabólica}

b) La derivada.

f'(x) = (2x+3)e^{-x}+\bigl(x^{2}+3x+1\bigr)\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x}\bigl[2x+3-x^{2}-3x-1\bigr]

f'(x) = e^{-x}\bigl(-x^{2}-x+2\bigr) = -e^{-x}\,(x-1)(x+2)

Puntos críticos. Como

e^{-x}>0

siempre:

(x-1)(x+2) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \quad \text{o} \quad x = -2

Los puntos de la gráfica.

f(1) = (1+3+1)e^{-1} = \frac{5}{e} \approx 1{,}84 \;\Longrightarrow\; \left(1,\; \frac5e\right)

f(-2) = (4-6+1)e^{2} = -e^{2} \approx -7{,}39 \;\Longrightarrow\; \bigl(-2,\; -e^{2}\bigr)

(Por el signo de $f'$ : $x=-2$ es mínimo relativo y $x=1$ es máximo relativo.)

c) La tangente en $x=0$ .

f(0) = 1\cdot e^{0} = 1 \qquad f'(0) = e^{0}(0-0+2) = 2

y-1 = 2\,(x-0) \;\Longrightarrow\; y = 2x+1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Las asíntotas horizontales hay que estudiarlas en los dos infinitos por separado: aquí hay una en $+\infty$ pero no en $-\infty$ , porque $e^{-x}$ se comporta de forma opuesta en cada lado.

Al derivar, saca $e^{-x}$ factor común: como nunca se anula, los puntos críticos son las raíces del polinomio. Es el paso que convierte el apartado b) en una ecuación de segundo grado.

Cuidado con los signos de $f(-2)$ : $e^{-(-2)} = e^{2}$ , no $e^{-2}$ . Ese error convierte un mínimo profundo ( $\approx -7{,}4$ ) en un valor casi nulo.