Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2013 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de

\sqrt5

cm de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible.

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Resultado

\boxed{\;u^{2}+h^{2} = 5 \;\Longrightarrow\; h = \sqrt{5-u^{2}}; \qquad P(u) = 4u+2\sqrt{5-u^{2}}\;}

\boxed{\;P'(u) = 4-\frac{2u}{\sqrt{5-u^{2}}} = 0 \;\Longrightarrow\; u = 2\sqrt{5-u^{2}} \;\Longrightarrow\; u = 2\;}

\boxed{\;\text{Base } 2u = 4 \ \text{cm}, \quad \text{altura } h = 1 \ \text{cm}\;}

\boxed{\;P_{\max} = 10 \ \text{cm} \quad (P''(2) = -10 < 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con el semicírculo centrado en el origen y apoyado en el eje

OX

, la semicircunferencia es

\;x^{2}+y^{2} = 5

con

y\geq0

.

Si el vértice superior derecho es

(u,h)

con

0<u<\sqrt5

, por simetría la base mide

2u

h = \sqrt{5-u^{2}}

El perímetro es

P = 2\,(2u)+2h = 4u+2h

. Es una función con una raíz, pero la derivada sale sencilla.

(Ojo: aquí se maximiza el perímetro, no el área; el óptimo es distinto.)

Desarrollo

La altura en función de la semibase. Del vértice sobre la circunferencia:

u^{2}+h^{2} = 5 \;\Longrightarrow\; h = \sqrt{5-u^{2}}, \qquad 0<u<\sqrt5

El perímetro. La base (

2u

) se cuenta dos veces y la altura (

h

) también:

P(u) = 2\,(2u)+2h = 4u+2\sqrt{5-u^{2}}

Derivada y punto crítico.

P'(u) = 4+2\cdot\frac{-2u}{2\sqrt{5-u^{2}}} = 4-\frac{2u}{\sqrt{5-u^{2}}} = 0

\frac{2u}{\sqrt{5-u^{2}}} = 4 \;\Longrightarrow\; 2u = 4\sqrt{5-u^{2}} \;\Longrightarrow\; u = 2\sqrt{5-u^{2}}

Elevando al cuadrado:

u^{2} = 4\,(5-u^{2}) \;\Longrightarrow\; u^{2} = 20-4u^{2} \;\Longrightarrow\; 5u^{2} = 20 \;\Longrightarrow\; u = 2

(La raíz negativa se descarta; y $u = 2 < \sqrt5\approx2{,}24$ $\checkmark$ )

Es máximo.

P''(2) = -10 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

(También se ve por el signo de $P'$ : positiva antes de $u=2$ y negativa después.)

Las dimensiones.

h = \sqrt{5-4} = 1 \ \text{cm} \qquad \text{base} = 2u = 4 \ \text{cm}

\textbf{Rectángulo de } 4 \times 1 \ \text{cm}

El perímetro máximo.

P = 4\cdot2+2\cdot1 = 10 \ \text{cm}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Se maximiza el perímetro, no el área. Con el área el óptimo sería otro; leer bien qué magnitud se pide es lo primero.

El perímetro es $2\cdot(\text{base})+2\cdot(\text{altura}) = 4u+2h$ , con base $2u$ por simetría respecto del centro. Escribir $2u+2h$ (contando la base una sola vez) es el error más frecuente.

Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas: comprueba que $u = 2$ cumple la ecuación original y que está en el intervalo $\bigl(0,\sqrt5\bigr)$ .