Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2020 · Septiembre

Enunciado

Ejercicio 5. Sea

f

la función definida por

f(x) = \frac{|x|}{2 - x}

para

x \neq 2

.

a) [1,25 puntos] Estudia la derivabilidad de

f

.

b) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f'(0^{-}) = -\tfrac{1}{2} \neq \tfrac{1}{2} = f'(0^{+}) \;\Longrightarrow\; f \text{ derivable en } \mathbb{R} - \{0, 2\}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Decreciente en } (-\infty, 0); \quad \text{creciente en } (0,2) \text{ y } (2,+\infty)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Como siempre con un valor absoluto, lo primero es escribir la función a trozos, partiendo en

x = 0

f(x) = \begin{cases} \dfrac{-x}{2-x} & \text{si } x < 0 \\[8pt] \dfrac{x}{2-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}

En cada trozo es una función racional, derivable donde no se anule el denominador. El único punto a discutir es el empalme $x = 0$ , comparando las derivadas laterales.

Y hay un detalle que conviene tener presente en b): el punto

x = 2

no pertenece al dominio, así que los intervalos de monotonía hay que partirlos también ahí.

Desarrollo

Expresión a trozos. Con

|x| = x

x \geq 0

|x| = -x

x < 0

f(x) = \begin{cases} \dfrac{-x}{2-x} & \text{si } x < 0 \\[8pt] \dfrac{x}{2-x} & \text{si } x \geq 0,\; x \neq 2 \end{cases}

a) Derivada en cada trozo.

Para $x > 0$ (con

x \neq 2

), por la regla del cociente y

(2-x)' = -1

f'(x) = \frac{1\cdot(2-x) - x\cdot(-1)}{(2-x)^{2}} = \frac{2 - x + x}{(2-x)^{2}} = \frac{2}{(2-x)^{2}}

Para $x < 0$ :

f'(x) = \frac{-1\cdot(2-x) - (-x)(-1)}{(2-x)^{2}} = \frac{-2 + x - x}{(2-x)^{2}} = \frac{-2}{(2-x)^{2}}

Derivadas laterales en $x = 0$ .

f'(0^{-}) = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad f'(0^{+}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Son distintas, luego

f

no es derivable en $x = 0$ (hay un punto anguloso).

(Sí es continua ahí: los dos trozos valen $0$ en $x=0$ .)

Conclusión:

f

es derivable en

\mathbb{R} - \{0,\, 2\}

(el

2

ni siquiera está en el dominio).

b) Monotonía. El denominador

(2-x)^{2}

es siempre positivo en el dominio, así que el signo de

f'

lo decide únicamente el numerador:

En $(-\infty, 0)$ : $\;f'(x) = \dfrac{-2}{(2-x)^{2}} < 0 \Longrightarrow$ decreciente
En $(0, 2)$ : $\;f'(x) = \dfrac{2}{(2-x)^{2}} > 0 \Longrightarrow$ creciente
En $(2, +\infty)$ : $\;f'(x) = \dfrac{2}{(2-x)^{2}} > 0 \Longrightarrow$ creciente

x = 0

hay un mínimo relativo, con

f(0) = 0

; es un mínimo anguloso, no derivable. No es absoluto: para

x > 2

la función toma valores negativos (por ejemplo,

f(3) = -3

).

(Aunque la función crece a ambos lados de $x=2$ , no se puede escribir "creciente en $(0,+\infty)$ ": en $x=2$ hay una asíntota vertical y la función no está definida.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Escribe la función a trozos antes de derivar. Si derivas $\frac{|x|}{2-x}$ tratando $|x|$ como si fuera $x$ , la rama izquierda te sale con el signo cambiado y la conclusión sobre la derivabilidad se viene abajo.

Y al dar los intervalos de monotonía, parte también en los puntos excluidos del dominio. Decir "creciente en $(0,+\infty)$ " es incorrecto porque en $x=2$ la función no existe: hay que separar $(0,2)$ de $(2,+\infty)$ .