Opción B · Ejercicio 1. Sea f : (-\infty,1)\to\mathbb{R} la función definida por f(x) = \begin{cases} x+2e^{-x} & \text{si } x\leq 0 \\[6pt] a\sqrt{b-x} & \text{si } 0<x<1\end{cases} a) [1,5 puntos] Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2013 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f : (-\infty,1)\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = \begin{cases} x+2e^{-x} & \text{si } x\leq 0 \\[6pt] a\sqrt{b-x} & \text{si } 0<x<1\end{cases}

a) [1,5 puntos] Determina

a

b

sabiendo que

f

es derivable en todo su dominio.

b) [1 punto] Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Continuidad: } a\sqrt b = 2; \qquad \text{Derivabilidad: } \frac{-a}{2\sqrt b} = -1 \;\Longrightarrow\; a = 2\sqrt b\;}

\boxed{\;2\sqrt b\cdot\sqrt b = 2b = 2 \;\Longrightarrow\; b = 1, \quad a = 2\;}

\boxed{\;\text{b) } f(0) = 2, \ f'(0) = -1: \quad \text{tangente } y = 2-x\;}

\boxed{\;\text{normal: pendiente } -\frac{1}{-1} = 1: \quad y = x+2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Las dos condiciones habituales en $x=0$ : continuidad y derivadas laterales iguales. Salen dos ecuaciones con las incógnitas $a$ y $b$ , ambas con $\sqrt{b}$ dentro, así que conviene dividirlas o despejar con cuidado.
b) El punto $x=0$ pertenece al primer tramo, así que $f(0)$ y $f'(0)$ se calculan con $x+2e^{-x}$ — y de hecho ya los tenemos de a).

Desarrollo

a) Continuidad en $x=0$ .

f(0^{-}) = 0+2e^{0} = 2 \qquad f(0^{+}) = a\sqrt{b-0} = a\sqrt b

a\sqrt b = 2 \qquad \text{(primera ecuación)}

Derivadas laterales.

x<0: \; f'(x) = 1-2e^{-x} \;\Longrightarrow\; f'(0^{-}) = 1-2 = -1

0<x<1: \; f'(x) = a\cdot\frac{-1}{2\sqrt{b-x}} \;\Longrightarrow\; f'(0^{+}) = \frac{-a}{2\sqrt b}

\frac{-a}{2\sqrt b} = -1 \;\Longrightarrow\; a = 2\sqrt b \qquad \text{(segunda ecuación)}

Resolviendo el sistema. Sustituyendo

a = 2\sqrt b

en la primera:

2\sqrt b\cdot\sqrt b = 2b = 2 \;\Longrightarrow\; b = 1 \;\Longrightarrow\; a = 2

a = 2, \qquad b = 1

Comprobación. Con

f(x) = 2\sqrt{1-x}

(0,1)

f(0^{+}) = 2\sqrt1 = 2 \;\checkmark \qquad f'(0^{+}) = \frac{-2}{2\sqrt1} = -1 \;\checkmark

(Y el dominio encaja: $\sqrt{1-x}$ existe para $x<1$ , justo el dominio dado.)

b) Tangente y normal en $x = 0$ . Del apartado a):

f(0) = 2 \qquad f'(0) = -1

Recta tangente (pendiente

-1

por

(0,2)

y-2 = -1\,(x-0) \;\Longrightarrow\; y = 2-x

Recta normal (pendiente

-\dfrac{1}{-1} = 1

por el mismo punto):

y-2 = 1\,(x-0) \;\Longrightarrow\; y = x+2

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Consejo

Derivable implica continua: hacen falta las dos ecuaciones. Con una sola no se puede despejar el par $(a,b)$ .

Al derivar $a\sqrt{b-x}$ , la regla de la cadena aporta un signo menos: $f' = \frac{-a}{2\sqrt{b-x}}$ . Ese menos es justo lo que permite empalmar con $f'(0^{-}) = -1$ .

En b) no hay que recalcular nada: $f(0)$ y $f'(0)$ ya salieron en a). Y la normal tiene pendiente $-\frac{1}{f'(0)} = 1$ , la opuesta de la inversa. Aquí coincide con $-f'(0)$ porque $f'(0) = -1$ , pero en general no: no te quedes con la regla equivocada.