Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Se sabe que la función

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x+d

tiene extremos relativos en

(0,0)

y en

(2,2)

. Calcula

a

b

c

d

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(0) = d = 0; \qquad f'(0) = c = 0\;}

\boxed{\;f(2) = 8a+4b = 2; \qquad f'(2) = 12a+4b = 0\;}

\boxed{\;4a = -2 \Rightarrow a = -\tfrac12, \quad b = \tfrac32\;}

\boxed{\;f(x) = -\frac{x^{3}}{2}+\frac{3x^{2}}{2} \quad \bigl(\text{mín. en } (0,0), \ \text{máx. en } (2,2)\bigr)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada extremo relativo aporta dos condiciones:

que la gráfica pase por el punto: $f(0) = 0$ y $f(2) = 2$ ,
que la derivada se anule: $f'(0) = 0$ y $f'(2) = 0$ .

Cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas. Y las dos que se evalúan en

x=0

son inmediatas: dan

d

c

de golpe.

Desarrollo

Las derivadas.

f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x+d \qquad f'(x) = 3a x^{2}+2b x+c

1) Extremo en $(0,0)$ .

f(0) = d = 0

f'(0) = c = 0

La función queda

\;f(x) = a x^{3}+b x^{2}

\;f'(x) = 3a x^{2}+2b x

.

2) Extremo en $(2,2)$ .

f(2) = 8a+4b = 2 \qquad \text{(1)}

f'(2) = 12a+4b = 0 \qquad \text{(2)}

Restando (1) de (2):

4a = -2 \;\Longrightarrow\; a = -\frac12

De (2):

\;4b = -12a = 6 \Longrightarrow b = \dfrac32

a = -\frac12, \qquad b = \frac32, \qquad c = 0, \qquad d = 0

f(x) = -\frac{x^{3}}{2}+\frac{3x^{2}}{2}

Comprobaciones.

f'(x) = -\frac{3x^{2}}{2}+3x = -\frac32 x\,(x-2) \;\Longrightarrow\; f'(0) = f'(2) = 0 \;\checkmark

f(0) = 0 \;\checkmark \qquad f(2) = -4+6 = 2 \;\checkmark

¿Qué tipo de extremos son?

\;f''(x) = -3x+3

f''(0) = 3 > 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo relativo en } (0,0)

f''(2) = -3 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo relativo en } (2,2)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cada extremo relativo son dos condiciones: pasar por el punto y anular la derivada. Con dos extremos salen las cuatro ecuaciones que necesitas.

Empieza por el extremo en $x = 0$ : las evaluaciones son triviales y dejan $c = d = 0$ , lo que simplifica mucho las otras dos ecuaciones.

Aunque el enunciado no lo pida, clasificar los extremos con $f''$ es una comprobación excelente: una cúbica siempre tiene un máximo y un mínimo (o ninguno), nunca dos iguales.