Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2015 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Sea

g

la función definida por

g(x) = \ln(x)

para

x>0

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano). Calcula el valor de

a>1

para el que el área del recinto limitado por la gráfica de

g

, el eje de abscisas y la recta

x = a

1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\ln x = 0 \Rightarrow x = 1: \text{ los límites son } 1 \text{ y } a\;}

\boxed{\;\int\ln x\,dx = x\ln x-x \quad (\text{por partes con } u = \ln x,\ dv = dx)\;}

\boxed{\;A(a) = \bigl[x\ln x-x\bigr]_{1}^{a} = a\ln a-a+1\;}

\boxed{\;a\ln a-a+1 = 1 \;\Longrightarrow\; a(\ln a-1) = 0 \;\Longrightarrow\; a = e\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema inverso: se calcula el área en función de

a

y se despeja.

El recinto está limitado por tres cosas, y hay que identificar bien los límites de integración:

Por abajo, el eje $OX$ , que la curva $y = \ln x$ corta en $x = 1$ : ese es el límite inferior.
Por la derecha, la recta $x = a$ : ese es el superior.

Como

a>1

, en

[1,a]

se cumple

\ln x \geq 0

, así que el área es directamente la integral (sin valor absoluto).

La primitiva de

\ln x

es por partes:

\;x\ln x-x

Desarrollo

El corte con el eje $OX$ .

\ln x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1

Como

a>1

, el recinto se extiende entre

x=1

x=a

, y ahí

\ln x \geq 0

.

La primitiva. Por partes, con

u = \ln x

dv = dx

du = \frac{dx}{x}, \quad v = x \;\Longrightarrow\; \int\ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x-x

El área.

A(a) = \int_{1}^{a}\ln x\,dx = \Bigl[x\ln x-x\Bigr]_{1}^{a} = \bigl(a\ln a-a\bigr)-\bigl(1\cdot 0-1\bigr)

A(a) = a\ln a-a+1

La ecuación.

a\ln a-a+1 = 1 \;\Longrightarrow\; a\ln a-a = 0 \;\Longrightarrow\; a\,(\ln a-1) = 0

Como

a>1

(en particular

a\neq0

\ln a-1 = 0 \;\Longrightarrow\; \ln a = 1 \;\Longrightarrow\; a = e \approx 2{,}718

(Y en efecto $e>1$ , como exige el enunciado.)

Comprobación.

A(e) = e\ln e-e+1 = e-e+1 = 1 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El límite inferior no es $0$ : es el corte de $\ln x$ con el eje, es decir, $x=1$ . Integrar desde $0$ daría una integral impropia que no es lo que pide el enunciado.

$\int\ln x\,dx = x\ln x-x$ hay que sabérsela. Si no la recuerdas, sale por partes en dos líneas con $dv = dx$ , pero es de las primitivas que conviene tener memorizadas.

Al resolver, factoriza: $a\ln a-a = a(\ln a-1)$ . Como $a>1$ , la única posibilidad es $\ln a = 1$ . Dividir directamente entre $a$ también vale, pero justifica que $a\neq0$ .