Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2019 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Se considera la función

f : (-2\pi, 2\pi) \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = \frac{\cos(x)}{2 + \cos(x)}

a) [1,5 puntos] Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

b) [1 punto] Halla sus máximos y mínimos relativos (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{-2\operatorname{sen} x}{(2+\cos x)^{2}}, \qquad \text{con } (2+\cos x)^{2} > 0 \text{ siempre}\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{Crece en } (-\pi,0)\cup(\pi,2\pi); \quad \text{decrece en } (-2\pi,-\pi)\cup(0,\pi)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Máximo } \left(0,\tfrac13\right); \qquad \text{mínimos } (-\pi,-1) \text{ y } (\pi,-1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al derivar el cociente ocurre algo muy cómodo: los términos con

\cos x\operatorname{sen} x

se cancelan y queda

f'(x) = \frac{-2\operatorname{sen} x}{(2+\cos x)^{2}}

El denominador es siempre positivo (nótese que

2 + \cos x

está entre

1

3

, nunca se anula), así que el signo de $f'$ es exactamente el opuesto del signo de $\operatorname{sen} x$ . Todo el estudio se reduce a saber dónde el seno es positivo o negativo dentro de

(-2\pi, 2\pi)

Desarrollo

Derivada.

f'(x) = \frac{-\operatorname{sen} x\,(2 + \cos x) - \cos x\,(-\operatorname{sen} x)}{(2+\cos x)^{2}} = \frac{-2\operatorname{sen} x - \operatorname{sen} x\cos x + \operatorname{sen} x\cos x}{(2+\cos x)^{2}}

f'(x) = \frac{-2\operatorname{sen} x}{(2 + \cos x)^{2}}

Puntos críticos. Como

(2+\cos x)^{2} > 0

siempre:

f'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{sen} x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = -\pi,\; 0,\; \pi

(las tres soluciones del intervalo abierto

(-2\pi, 2\pi)

;

\pm 2\pi

quedan fuera).

a) Signo de $f'$ . Es el contrario al del seno:

\begin{array}{c|c|c|c} \text{Intervalo} & \operatorname{sen} x & f' & f \\ \hline (-2\pi,\, -\pi) & + & - & \text{decreciente} \\ (-\pi,\, 0) & - & + & \text{creciente} \\ (0,\, \pi) & + & - & \text{decreciente} \\ (\pi,\, 2\pi) & - & + & \text{creciente}\end{array}

\text{Creciente en } (-\pi, 0)\cup(\pi, 2\pi); \qquad \text{decreciente en } (-2\pi, -\pi)\cup(0, \pi)

b) Extremos relativos.

En $x = -\pi$ : $f$ pasa de decrecer a crecer $\Rightarrow$ mínimo.
En $x = 0$ : pasa de crecer a decrecer $\Rightarrow$ máximo.
En $x = \pi$ : pasa de decrecer a crecer $\Rightarrow$ mínimo.

Valores.

f(0) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33

f(\pm\pi) = \frac{-1}{2-1} = -1

\text{Máximo } \left(0,\; \frac13\right); \qquad \text{mínimos } \left(-\pi,\, -1\right) \text{ y } \left(\pi,\, -1\right)

(Coherente con que $f$ solo depende de $\cos x$ : es par y de periodo $2\pi$ , así que los dos mínimos tienen el mismo valor.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al derivar el cociente, desarrolla y simplifica: los productos $\operatorname{sen} x\cos x$ se cancelan y $f'$ queda con un solo término. Si te quedas con la expresión sin simplificar, localizar los ceros es mucho más difícil.

El intervalo es $(-2\pi, 2\pi)$ , así que $\operatorname{sen} x = 0$ tiene tres soluciones dentro: $-\pi$ , $0$ y $\pi$ . Los extremos $\pm 2\pi$ no cuentan (el intervalo es abierto). Contar mal las soluciones es el fallo típico de este ejercicio.

El signo negativo de $f'$ invierte todo: donde el seno es positivo, la función decrece. Es fácil despistarse y dar los intervalos al revés.