Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. Sea

f : (0,+\infty) \to \mathbb{R}

la función dada por

f(x) = \ln(x)

(

\ln

representa logaritmo neperiano).

a) [0,5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 1

.

b) [2 puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de

f

, la recta

y = x - 1

y la recta

x = 3

. Calcula su área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad f(1) = 0,\; f'(1) = 1 \;\Longrightarrow\; y = x - 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{La recta es tangente en } (1,0) \text{ y queda por encima: } A = \int_{1}^{3}\bigl[(x-1) - \ln x\bigr]dx\;}

\boxed{\;A = \left[\frac{x^{2}}{2} - x\ln x\right]_{1}^{3} = 4 - 3\ln 3 \approx 0{,}70\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) da la clave del b): la tangente a

\ln x

x=1

resulta ser exactamente la recta

y = x-1

del apartado siguiente.

Eso significa que curva y recta solo se tocan en

x=1

y no se cortan en ningún otro punto. Además, como el logaritmo es cóncavo, la recta tangente queda por encima de la curva en todo el dominio.

Así que el recinto va de

x=1

(tangencia) a

x=3

, con la recta arriba y la curva abajo.

Desarrollo

a) Recta tangente en $x=1$ .

f(1) = \ln 1 = 0, \qquad f'(x) = \frac1x \;\Longrightarrow\; f'(1) = 1

y - 0 = 1\cdot(x-1) \;\Longrightarrow\; y = x - 1

la misma recta del apartado b).

b) El recinto. La recta

y = x-1

es tangente a

y = \ln x

(1,0)

; en el resto queda por encima, porque el logaritmo es cóncavo (

f''(x) = -\tfrac{1}{x^{2}} < 0

).

(Comprobación en $x=3$ : la recta vale $2$ y el logaritmo $\ln 3 \approx 1{,}10$ .)

El recinto está limitado arriba por la recta, abajo por la curva, y se cierra en punta por la izquierda en el punto de tangencia

x=1

y por la derecha con la vertical

x=3

.

Área.

A = \int_{1}^{3}\Bigl[(x-1) - \ln x\Bigr]dx

Primitiva. Usando

\int\ln x\,dx = x\ln x - x

\int\Bigl[(x-1) - \ln x\Bigr]dx = \frac{x^{2}}{2} - x - \bigl(x\ln x - x\bigr) = \frac{x^{2}}{2} - x\ln x

(Los dos términos $-x$ y $+x$ se cancelan: la primitiva queda muy compacta.)

Evaluación.

En $x=3$ :

\;\dfrac92 - 3\ln 3

En $x=1$ :

\;\dfrac12 - 0 = \dfrac12

A = \left(\frac92 - 3\ln 3\right) - \frac12 = 4 - 3\ln 3

A = 4 - 3\ln 3 \approx 4 - 3{,}296 = 0{,}70 \ \text{unidades cuadradas}

(También se puede escribir $A = 4 - \ln 27$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en que la recta del apartado b) es la tangente del apartado a): por eso solo se tocan en $x=1$ y no hay que buscar más cortes. Los apartados de un mismo problema casi siempre están encadenados.

Como el logaritmo es cóncavo ( $f'' < 0$ ), su tangente queda siempre por encima de la curva. Ese argumento justifica quién va arriba sin necesidad de tantear varios puntos —aunque comprobarlo en $x=3$ también vale.

Recuerda $\int\ln x\,dx = x\ln x - x$ (sale por partes con $dv = dx$ ). Aquí el $-x$ se cancela con el de la recta y la primitiva queda en solo dos términos: una simplificación que conviene aprovechar.