Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2023 · Julio

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Calcula

a

con

0 < a < 1

, tal que

\int_{a}^{1} \frac{\ln(x)}{x}\,dx \;+\; 2 = 0

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano.)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;a = e^{-2} = \frac{1}{e^{2}} \approx 0{,}135\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La integral es inmediata de tipo potencia: en el integrando aparece

\ln x

y su propia derivada

1/x

, así que se trata de

\int u\,u'\,dx = u^{2}/2

con

u = \ln x

. No hace falta integrar por partes ni cambiar de variable formalmente.

Una vez calculada la integral definida (que quedará en función de

a

), se plantea la ecuación y se resuelve. Aparecerá un cuadrado, y por tanto dos valores de

a

: la condición

0 < a < 1

está ahí precisamente para quedarse con uno.

Desarrollo

Primitiva. Con

u = \ln x

u' = 1/x

\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C = \frac{\bigl(\ln x\bigr)^{2}}{2} + C

Integral definida.

\int_{a}^{1} \frac{\ln x}{x}\,dx = \left[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\right]_{a}^{1} = \frac{(\ln 1)^{2}}{2} - \frac{(\ln a)^{2}}{2} = 0 - \frac{(\ln a)^{2}}{2} = -\frac{(\ln a)^{2}}{2}

Ecuación.

-\frac{(\ln a)^{2}}{2} + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{(\ln a)^{2}}{2} = 2 \;\Longrightarrow\; (\ln a)^{2} = 4

\ln a = 2 \quad \text{o} \quad \ln a = -2 \;\Longrightarrow\; a = e^{2} \quad \text{o} \quad a = e^{-2}

Elección de la solución válida. La condición del enunciado es

0 < a < 1

$a = e^{2} \approx 7{,}39 > 1$ : se descarta.
$a = e^{-2} = \dfrac{1}{e^{2}} \approx 0{,}1353$ : cumple $0 < a < 1$ . Válida.

(Además, para que la integral tenga sentido el intervalo $[a,1]$ debe estar contenido en el dominio $(0,+\infty)$ , cosa que $a = e^{-2}$ cumple sin problema.)

Comprobación.

\int_{e^{-2}}^{1} \frac{\ln x}{x}\,dx = -\frac{\bigl(\ln e^{-2}\bigr)^{2}}{2} = -\frac{(-2)^{2}}{2} = -2 \;\Longrightarrow\; -2 + 2 = 0 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Reconoce el patrón antes de calcular: cuando en el integrando aparece una función y su derivada multiplicando, la integral es inmediata. Aquí el integrando es $\ln x \cdot \frac{1}{x}$ , así que la primitiva es $\frac{(\ln x)^{2}}{2}$ . Intentar hacerlo por partes funciona, pero es dar un rodeo largo.

Y no olvides el signo: la integral va de $a$ a $1$ , no al revés. Al evaluar sale $0 - \frac{(\ln a)^{2}}{2}$ , negativo, y ese menos es lo que hace que la ecuación tenga solución. Si lo pierdes, obtienes $(\ln a)^{2} = -4$ y concluyes, erróneamente, que no hay solución.