Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{1}^{e}x^{2}\,\ln(x)\,dx

(

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = \ln x, \ dv = x^{2}dx \;\Longrightarrow\; du = \frac{dx}{x}, \ v = \frac{x^{3}}{3}\;}

\boxed{\;I = \left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{1}^{e}-\frac13\int_{1}^{e}x^{2}dx = \frac{e^{3}}{3}-\frac13\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{e}\;}

\boxed{\;= \frac{e^{3}}{3}-\frac{e^{3}-1}{9}\;}

\boxed{\;I = \frac{2e^{3}+1}{9} \approx 4{,}57\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Producto de un polinomio por un logaritmo

\Rightarrow

integración por partes, con el logaritmo en

u

u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{dx}{x} \qquad dv = x^{2}\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^{3}}{3}

La integral que queda se simplifica sola:

\;\dfrac{x^{3}}{3}\cdot\dfrac1x = \dfrac{x^{2}}{3}

.

Además, los límites

1

e

son cómodos:

\ln1 = 0

\ln e = 1

Desarrollo

Por partes.

\int_{1}^{e}x^{2}\ln x\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac1x\,dx

= \left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{1}^{e}-\frac13\int_{1}^{e}x^{2}\,dx

El primer término.

\left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{1}^{e} = \frac{e^{3}}{3}\cdot1-\frac13\cdot0 = \frac{e^{3}}{3}

La integral restante.

\frac13\int_{1}^{e}x^{2}dx = \frac13\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{e} = \frac13\left(\frac{e^{3}}{3}-\frac13\right) = \frac{e^{3}-1}{9}

Restando.

I = \frac{e^{3}}{3}-\frac{e^{3}-1}{9} = \frac{3e^{3}-e^{3}+1}{9} = \frac{2e^{3}+1}{9}

I = \frac{2e^{3}+1}{9} \approx \frac{2\cdot20{,}086+1}{9} \approx 4{,}57

Comprobación (derivando la primitiva). La primitiva general es

F(x) = \frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{x^{3}}{9}

F'(x) = x^{2}\ln x+\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac1x-\frac{3x^{2}}{9} = x^{2}\ln x+\frac{x^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{3} = x^{2}\ln x \;\checkmark

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Consejo

Con polinomio por logaritmo, el logaritmo va siempre en $u$ : al derivarlo aparece $\frac1x$ , que se simplifica con la potencia de $v$ .

Aprovecha $\ln1 = 0$ y $\ln e = 1$ : los límites de integración están elegidos para que la parte ya integrada salga limpia.

Comprueba derivando la primitiva $F(x) = \frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{x^{3}}{9}$ : los dos términos en $x^{2}$ se cancelan y queda $x^{2}\ln x$ . Confirma el resultado en dos líneas.