Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2025 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque con optatividad 1). Considera la función

f(x) = \begin{cases} x\operatorname{sen}(2x) & \text{si } x \leq 0 \\[4pt] \cos(\pi x) - 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}

Calcula

\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{4}}^{1} f(x)\,dx

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Resultado

\boxed{\;\int_{-\frac{\pi}{4}}^{1} f(x)\,dx = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}\;}

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Estrategia

La función está definida a trozos y el intervalo de integración,

\left[-\frac{\pi}{4},\,1\right]

, contiene el punto de cambio

x = 0

. Por la aditividad respecto del intervalo, la integral se parte en dos, cada una con su fórmula:

\int_{-\pi/4}^{1} f = \int_{-\pi/4}^{0} x\operatorname{sen}(2x)\,dx + \int_{0}^{1} \bigl(\cos(\pi x) - 1\bigr)dx

La primera es "polinomio por trigonométrica": integración por partes con

u = x

. La segunda es inmediata, cuidando el

\pi

del argumento.

Desarrollo

Primer trozo: $\displaystyle\int x\operatorname{sen}(2x)\,dx$ por partes.

u = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \operatorname{sen}(2x)\,dx \;\Rightarrow\; v = -\frac{\cos(2x)}{2}

\int x\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx = -\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4}

Aplicamos la regla de Barrow entre

-\frac{\pi}{4}

0

. En

x = 0

-\frac{0\cdot\cos(0)}{2} + \frac{\operatorname{sen}(0)}{4} = 0

x = -\frac{\pi}{4}

(con

\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0

\operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1

-\frac{\left(-\frac{\pi}{4}\right)\cdot 0}{2} + \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}

\int_{-\pi/4}^{0} x\operatorname{sen}(2x)\,dx = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}

Segundo trozo: $\displaystyle\int_{0}^{1}\bigl(\cos(\pi x) - 1\bigr)dx$ .

\int \bigl(\cos(\pi x) - 1\bigr)dx = \frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi} - x

\int_{0}^{1}\bigl(\cos(\pi x) - 1\bigr)dx = \left[\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi} - x\right]_{0}^{1} = \left(\frac{\operatorname{sen}(\pi)}{\pi} - 1\right) - (0 - 0) = 0 - 1 = -1

Suma.

\int_{-\pi/4}^{1} f(x)\,dx = \frac{1}{4} + (-1) = -\frac{3}{4}

Coherencia del signo: en

(0,1)

\cos(\pi x) \leq 1

, así que ese trozo de función es negativo y aporta área "por debajo del eje"; el trozo de la izquierda aporta poco y positivo. Que el resultado salga negativo es lo esperable.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El punto de corte $x=0$ está dentro del intervalo: hay que partir la integral. Integrar con una sola de las dos expresiones en todo $\left[-\frac{\pi}{4},1\right]$ es el error que anula el ejercicio.

Y ojo con las constantes internas: $\int \operatorname{sen}(2x)dx = -\frac{\cos(2x)}{2}$ y $\int\cos(\pi x)dx = \frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi}$ . Olvidar dividir entre $2$ o entre $\pi$ es la fuga de puntos más habitual en estas integrales.