Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2024 · Junio

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque B). Considera la función

f

definida por

f(x) = \frac{x^{3} + 2}{x^{2} - 1}, \qquad \text{para } x \neq -1,\ x \neq 1

Calcula una primitiva de

f

cuya gráfica pase por el punto

(0,1)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Función racional impropia (grado

3

arriba, grado

2

abajo): el primer paso obligatorio es la división de polinomios. Lo que queda es una fracción propia cuyo denominador sí factoriza,

x^{2}-1 = (x-1)(x+1)

, así que ahora sí toca descomponer en fracciones simples y salen dos logaritmos.

Los criterios reparten

0{,}75

puntos por la descomposición y otros

0{,}75

por hallar todas las primitivas, así que esos dos pasos son la mitad del ejercicio.

Desarrollo

Paso 1: división de polinomios. Como

x^{3} + 2 = x\,(x^{2}-1) + x + 2

f(x) = \frac{x(x^{2}-1) + x + 2}{x^{2}-1} = x + \frac{x+2}{x^{2}-1}

Paso 2: fracciones simples. El denominador factoriza como

x^{2}-1 = (x-1)(x+1)

, con raíces simples:

\frac{x+2}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} \;\Longrightarrow\; x + 2 = A(x+1) + B(x-1)

Dando valores a

x

x = 1: \quad 3 = 2A \;\Longrightarrow\; A = \frac{3}{2} \qquad\qquad x = -1: \quad 1 = -2B \;\Longrightarrow\; B = -\frac{1}{2}

Por tanto

f(x) = x + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}

Paso 3: integrar.

F(x) = \int f(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C

Paso 4: imponer el punto $(0,1)$ .

F(0) = 0 + \frac{3}{2}\ln|{-1}| - \frac{1}{2}\ln|1| + C = \frac{3}{2}\cdot 0 - \frac{1}{2}\cdot 0 + C = C

C = 1

La primitiva pedida es

F(x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + 1

(El punto $(0,1)$ está en el intervalo $(-1,1)$ , donde $|x-1| = 1-x$ y $|x+1| = x+1$ ; si se prefiere, en ese trozo la primitiva se escribe $\frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2}\ln(1-x) - \frac{1}{2}\ln(x+1) + 1$ .)

Comprobación. Derivando:

F'(x) = x + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} = x + \frac{3(x+1) - (x-1)}{2(x-1)(x+1)} = x + \frac{2x+4}{2(x^{2}-1)} = x + \frac{x+2}{x^{2}-1}

y agrupando,

F'(x) = \dfrac{x^{3}-x+x+2}{x^{2}-1} = \dfrac{x^{3}+2}{x^{2}-1} = f(x)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Si no divides primero, la descomposición en fracciones simples no funciona: solo se aplica a fracciones propias. La señal es el grado: $3$ arriba, $2$ abajo.

Y no olvides los valores absolutos en los logaritmos: el enunciado excluye $x=\pm 1$ pero la función vive a los dos lados, y sin el valor absoluto la primitiva sería falsa en los intervalos donde el argumento es negativo. Con $|\cdot|$ la expresión vale en los tres.