Integrales

a) Las gráficas. $f(x) = -e^{x}$ es la exponencial creciente reflejada: pasa por $(0,-1)$, tiende a $0^{-}$ cuando $x \to -\infty$ y a $-\infty$ cuando $x \to +\infty$. $g(x) = -e^{-x}$ es su simétrica respecto del eje $OY$: pasa también por $(0,-1)$, tiende a $-\infty$ cuando $x\to-\infty$ y a $0^{-}$ cuando $x\to+\infty$. Ambas quedan por debajo del eje $OX$, que es su asíntota horizontal, y se cortan en$$-e^{x} = -e^{-x} \;\Longleftrightarrow\; e^{x} = e^{-x} \;\Longleftrightarrow\; x = -x \;\Longleftrightarrow\; x = 0$$en el punto $(0, -1)$. Los recintos que se piden son los dos "husos" que quedan entre las dos curvas, a izquierda y derecha de $x=0$, cerrados por las rectas verticales $x=-1$ y $x=1$.

b) Quién va por encima. Para $x < 0$ se tiene $e^{x} < e^{-x}$, luego $-e^{x} > -e^{-x}$: manda $f$. Para $x > 0$ ocurre lo contrario: manda $g$.

Primer recinto, en $[-1, 0]$ (con $f$ arriba):$$A_{1} = \int_{-1}^{0}\bigl(f(x) - g(x)\bigr)dx = \int_{-1}^{0}\bigl(-e^{x} + e^{-x}\bigr)dx = \Bigl[-e^{x} - e^{-x}\Bigr]_{-1}^{0}$$$$A_{1} = (-1 - 1) - \left(-e^{-1} - e\right) = -2 + \frac{1}{e} + e = e + \frac{1}{e} - 2$$Segundo recinto, en $[0, 1]$ (con $g$ arriba):$$A_{2} = \int_{0}^{1}\bigl(g(x) - f(x)\bigr)dx = \int_{0}^{1}\bigl(-e^{-x} + e^{x}\bigr)dx = \Bigl[e^{-x} + e^{x}\Bigr]_{0}^{1}$$$$A_{2} = \left(\frac{1}{e} + e\right) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2$$Salen iguales, como anunciaba la simetría respecto del eje $OY$.

Suma de las áreas:$$A = A_{1} + A_{2} = 2\left(e + \frac{1}{e} - 2\right) = 2e + \frac{2}{e} - 4 \approx 2{,}17 \ \text{unidades cuadradas}$$