Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera las funciones

f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definidas por

f(x) = x^{2} \qquad \text{y} \qquad g(x) = a\,|x|, \quad \text{con } a > 0

Determina el valor de

a

para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de

9

unidades cuadradas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Cortes en } x = -a,\; 0,\; a; \qquad A = 2\int_{0}^{a}\bigl(ax - x^{2}\bigr)dx = \frac{a^{3}}{3}\;}

\boxed{\;\frac{a^{3}}{3} = 9 \;\Longrightarrow\; a = 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Este ejercicio invierte el planteamiento habitual: en vez de calcular un área, se impone su valor y se despeja el parámetro.

Dos claves:

El valor absoluto y la parábola son funciones pares, así que la figura es simétrica respecto del eje $OY$ y hay dos recintos idénticos (de ahí el plural "los recintos"). Basta calcular uno y duplicar.
Los puntos de corte dependen de $a$ , así que el área saldrá en función de $a$ y la ecuación final será de tercer grado, pero muy sencilla.

Desarrollo

Puntos de corte.

x^{2} = a\,|x|

Para $x \geq 0$ ,

|x| = x

x^{2} = a\,x \;\Longrightarrow\; x\,(x - a) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;\text{ o }\; x = a

Para $x < 0$ ,

|x| = -x

x^{2} = -a\,x \;\Longrightarrow\; x\,(x + a) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -a

Los cortes son

x = -a

x = 0

x = a

(recuerda que

a > 0

). Hay, por tanto, dos recintos: uno en

[-a, 0]

y otro en

[0, a]

.

Qué función va por encima. En

(0, a)

, tomando por ejemplo

x = a/2

f\!\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a^{2}}{4}, \qquad g\!\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{a^{2}}{2}

Gana

g

: la "uve" del valor absoluto está por encima de la parábola entre los cortes.

Área del recinto derecho.

A_{1} = \int_{0}^{a}\bigl(a\,x - x^{2}\bigr)dx = \left[\frac{a\,x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{3}}{2} - \frac{a^{3}}{3} = \frac{3a^{3} - 2a^{3}}{6} = \frac{a^{3}}{6}

Área total. Por simetría, el recinto izquierdo mide lo mismo:

A = 2\,A_{1} = 2\cdot\frac{a^{3}}{6} = \frac{a^{3}}{3}

Ecuación e incógnita.

\frac{a^{3}}{3} = 9 \;\Longrightarrow\; a^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; a = 3

(La raíz cúbica real es única, y además cumple

a > 0

como pedía el enunciado.)

Comprobación. Con

a = 3

los cortes son

x = -3, 0, 3

A = 2\int_{0}^{3}\bigl(3x - x^{2}\bigr)dx = 2\left[\frac{3x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = 2\left(\frac{27}{2} - 9\right) = 2\cdot\frac{9}{2} = 9 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El plural de "los recintos" es la pista: hay dos, uno a cada lado del eje $OY$ . Si calculas solo el de la derecha e igualas $\frac{a^{3}}{6} = 9$ , sale $a = \sqrt[3]{54}$ , un número feo que ya delata que algo falla. Aprovecha la paridad de las dos funciones para justificar la simetría en una línea.

Y no te olvides del valor absoluto al buscar los cortes: hay que resolver en los dos trozos. Con $g(x) = ax$ a secas te faltaría el corte en $x = -a$ y con él la mitad de la figura.