Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2011 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida por

f(x) = \frac{3x^{4}+1}{x^{3}} \qquad \text{para } x\neq0

a) [1,25 puntos] Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.

b) [1,25 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = \frac{3x^{4}+1}{x^{3}} = 3x+\frac{1}{x^{3}}\;}

\boxed{\;\text{A. vertical } x = 0 \ (\to+\infty \text{ por la dcha., } -\infty \text{ por la izda.}); \ \text{A. oblicua } y = 3x\;}

\boxed{\;f'(x) = 3-\frac{3}{x^{4}} = \frac{3(x^{4}-1)}{x^{4}} = 0 \Rightarrow x = \pm1\;}

\boxed{\;\text{Máx. rel. } (-1,-4); \quad \text{Mín. rel. } (1,4)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El primer movimiento resuelve medio problema: dividir término a término.

f(x) = \frac{3x^{4}}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}} = 3x+\frac{1}{x^{3}}

Escrita así:

la asíntota oblicua se lee directamente ( $y = 3x$ , porque $\frac{1}{x^{3}}\to0$ ),
y la derivada es inmediata: $f'(x) = 3-\dfrac{3}{x^{4}}$ .

Desarrollo

Reescribimos.

f(x) = \frac{3x^{4}+1}{x^{3}} = 3x+x^{-3} = 3x+\frac{1}{x^{3}}

a) Asíntotas.

Vertical: $x = 0$ (único punto que anula el denominador y no el numerador).

\lim_{x\to0^{+}}\left(3x+\frac{1}{x^{3}}\right) = +\infty \qquad \lim_{x\to0^{-}}\left(3x+\frac{1}{x^{3}}\right) = -\infty

Horizontal: no hay, porque

\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \pm\infty

Oblicua: $y = mx+n$ .

m = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\left(3+\frac{1}{x^{4}}\right) = 3

n = \lim_{x\to\infty}\bigl[f(x)-3x\bigr] = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}} = 0

\textbf{Asíntota oblicua: } y = 3x \quad (\text{en } +\infty \text{ y en } -\infty)

(Posición: $f(x)-3x = \frac{1}{x^{3}}$ , positivo si $x>0$ y negativo si $x<0$ : la curva va por encima de la asíntota a la derecha y por debajo a la izquierda.)

b) Monotonía y extremos.

f'(x) = 3-\frac{3}{x^{4}} = \frac{3\,(x^{4}-1)}{x^{4}} = \frac{3\,(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x^{4}}

Como

x^{4}>0

x^{2}+1>0

, el signo de $f'$ es el de $x^{2}-1$ :

f'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; x = -1 \quad \text{o} \quad x = 1

\begin{array}{c|c|c|c|c} & (-\infty,-1) & (-1,0) & (0,1) & (1,+\infty) \\ \hline x^{2}-1 & + & - & - & + \\ \hline f' & + & - & - & + \\ \hline f & \text{crece} & \text{decrece} & \text{decrece} & \text{crece}\end{array}

\textbf{Crece en } (-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \qquad \textbf{Decrece en } (-1,0)\cup(0,1)

Los extremos.

f(-1) = -3+\frac{1}{(-1)^{3}} = -3-1 = -4 \qquad \text{(de crecer a decrecer: } \textbf{máximo relativo})

f(1) = 3+1 = 4 \qquad \text{(de decrecer a crecer: } \textbf{mínimo relativo})

(Curioso pero correcto: el máximo relativo vale $-4$ y el mínimo $4$ . No es contradictorio porque están en ramas separadas por la asíntota $x=0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide antes de derivar. Pasar de $\frac{3x^{4}+1}{x^{3}}$ a $3x+x^{-3}$ evita la regla del cociente y regala la asíntota oblicua sin calcular límites.

En el estudio del signo de $f'$ hay que incluir $x=0$ como punto de corte de los intervalos, aunque no sea un extremo: no está en el dominio y la función cambia de rama ahí.

Que el "máximo" valga $-4$ y el "mínimo" $4$ es normal en funciones con asíntota vertical: son extremos relativos, no absolutos. La función no tiene extremos absolutos.