Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2016 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

dada por

f(x) = -x^{2} + m\,x

siendo

m > 0

. Esboza el recinto limitado por la gráfica de

f

y la recta

y = -m\,x

y calcula el valor de

m

para que el área de dicho recinto sea

36

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;-x^{2}+mx = -mx \;\Longrightarrow\; x\,(2m-x) = 0: \quad x = 0,\; x = 2m\;}

\boxed{\;A = \int_{0}^{2m}\bigl(-x^{2}+2mx\bigr)dx = \frac{4m^{3}}{3}\;}

\boxed{\;\frac{4m^{3}}{3} = 36 \;\Longrightarrow\; m^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; m = 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema inverso con parámetro. Los cortes entre la parábola y la recta dependen de

m

, así que los límites de integración también.

Al igualar, los términos cuadráticos no se cancelan (solo hay

x^{2}

en la parábola), y la ecuación se factoriza sacando

x

factor común.

El área saldrá proporcional a

m^{3}

, así que la ecuación final es una cúbica pura.

Desarrollo

Puntos de corte.

-x^{2} + m\,x = -m\,x \;\Longrightarrow\; -x^{2} + 2m\,x = 0 \;\Longrightarrow\; x\,(2m - x) = 0

x = 0 \qquad \text{y} \qquad x = 2m

Como

m > 0

, el recinto está en

[0,\, 2m]

.

El recinto. La parábola

y = -x^{2}+mx

tiene las ramas hacia abajo, con ceros en

x=0

x=m

y vértice en

\left(\tfrac m2, \tfrac{m^{2}}{4}\right)

. La recta

y = -mx

pasa por el origen con pendiente negativa.

¿Quién va arriba? En

x = m

, punto interior:

\text{parábola: } -m^{2}+m^{2} = 0 \qquad > \qquad \text{recta: } -m^{2}

La parábola está por encima en todo el intervalo.

Área.

A = \int_{0}^{2m}\Bigl[\bigl(-x^{2}+mx\bigr) - \bigl(-mx\bigr)\Bigr]dx = \int_{0}^{2m}\bigl(-x^{2} + 2mx\bigr)dx

= \left[-\frac{x^{3}}{3} + m\,x^{2}\right]_{0}^{2m} = -\frac{8m^{3}}{3} + 4m^{3} = \frac{-8m^{3} + 12m^{3}}{3} = \frac{4m^{3}}{3}

La ecuación del área.

\frac{4m^{3}}{3} = 36 \;\Longrightarrow\; m^{3} = 27 \;\Longrightarrow\; m = 3

(única raíz real, y positiva como exige el enunciado).

Comprobación. Con

m = 3

: la parábola es

y = -x^{2}+3x

, la recta

y = -3x

, y los cortes están en

x=0

x=6

A = \int_{0}^{6}\bigl(-x^{2} + 6x\bigr)dx = \left[-\frac{x^{3}}{3} + 3x^{2}\right]_{0}^{6} = -72 + 108 = 36 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los límites de integración dependen del parámetro: son $0$ y $2m$ . Integrar con $m$ dentro y obtener $A(m) = \frac{4m^{3}}{3}$ es justo lo que se evalúa.

Fíjate en que el segundo corte es $x = 2m$ , no $x = m$ (que es donde la parábola corta al eje $OX$ , no a la recta). Confundirlos es el error de planteamiento más frecuente.

Comprueba quién va arriba evaluando en un punto interior. Si restas al revés obtienes $-\frac{4m^{3}}{3} = 36$ , sin solución positiva, y concluirías erróneamente que el problema no tiene respuesta.