Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2008 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x+d

Se sabe que

f

tiene un máximo local en

x = 1

, que el punto

(0,1)

es un punto de inflexión de su gráfica y que

\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \frac94

Calcula

a

b

c

d

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(0) = d = 1; \qquad f''(0) = 2b = 0 \Rightarrow b = 0\;}

\boxed{\;f'(1) = 3a+c = 0 \;\Longrightarrow\; c = -3a\;}

\boxed{\;\int_{0}^{1}f = \frac a4+\frac c2+1 = \frac94 \;\Longrightarrow\; a+2c = 5\;}

\boxed{\;a = -1, \ b = 0, \ c = 3, \ d = 1: \quad f(x) = -x^{3}+3x+1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cuatro condiciones para cuatro incógnitas, y una de ellas es integral (poco habitual):

"pasa por $(0,1)$ " $\Rightarrow f(0) = 1$ (da $d$ ),
"inflexión en $x = 0$ " $\Rightarrow f''(0) = 0$ (da $b$ ),
"máximo local en $x = 1$ " $\Rightarrow f'(1) = 0$ ,
la integral $\displaystyle\int_{0}^{1}f = \frac94$ .

Las dos primeras se resuelven de un vistazo; las otras dos dejan un sistema

2\times2

a

c

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3a x^{2}+2b x+c \qquad f''(x) = 6a x+2b

1) Pasa por $(0,1)$ .

f(0) = d = 1

2) Inflexión en $x = 0$ .

f''(0) = 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

La función queda

\;f(x) = a x^{3}+c x+1

.

3) Máximo local en $x = 1$ .

f'(1) = 3a+c = 0 \;\Longrightarrow\; c = -3a \qquad \text{(1)}

4) La integral.

\int_{0}^{1}\bigl(a x^{3}+c x+1\bigr)dx = \left[\frac{a x^{4}}{4}+\frac{c x^{2}}{2}+x\right]_{0}^{1} = \frac{a}{4}+\frac{c}{2}+1

\frac{a}{4}+\frac{c}{2}+1 = \frac94 \;\Longrightarrow\; \frac{a}{4}+\frac{c}{2} = \frac54 \;\Longrightarrow\; a+2c = 5 \qquad \text{(2)}

Sustituyendo (1) en (2).

a+2\,(-3a) = a-6a = -5a = 5 \;\Longrightarrow\; a = -1

c = -3\,(-1) = 3

a = -1, \qquad b = 0, \qquad c = 3, \qquad d = 1

f(x) = -x^{3}+3x+1

Comprobaciones.

f(0) = 1 \;\checkmark \qquad f''(x) = -6x \;\Longrightarrow\; f''(0) = 0 \;\checkmark

f'(x) = -3x^{2}+3 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \;\checkmark \quad \text{y} \quad f''(1) = -6 < 0 \ \text{(máximo)} \;\checkmark

\int_{0}^{1}\bigl(-x^{3}+3x+1\bigr)dx = -\frac14+\frac32+1 = \frac{-1+6+4}{4} = \frac94 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una condición integral se trata como cualquier otra: se calcula $\int_{0}^{1}f$ dejando las constantes dentro y se iguala al dato. Aporta una ecuación lineal más.

Resuelve en el orden más económico: $d$ y $b$ salen de las evaluaciones en $x=0$ y simplifican mucho las otras dos ecuaciones.

Comprueba con $f''(1)<0$ que en $x=1$ hay realmente un máximo y no un mínimo. Es la verificación que cierra el ejercicio.