Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2022 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 3 (bloque A). Considera la función

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

definida por

f(x) = x^{3} - x

. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función

f

y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Normal: } y = x; \qquad \text{cortes en } x = -\sqrt{2},\, 0,\, \sqrt{2}\;}

\boxed{\;A = \left|\int_{-\sqrt{2}}^{0}\bigl(x^{3}-2x\bigr)dx\right| + \left|\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl(x^{3}-2x\bigr)dx\right| = 1 + 1 = 2 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero hay que construir la recta normal, que es la perpendicular a la tangente en

(0, 0)

. Como

f'(0) = -1

, la normal tiene pendiente

1

y resulta ser

y = x

: muy cómoda para lo que viene.

La palabra clave es total: la cúbica y la recta se cortan en tres puntos, así que delimitan dos recintos. Y como uno queda por encima de la recta y el otro por debajo, las dos integrales salen con signos opuestos. Sumarlas sin más daría cero (por simetría impar); hay que tomar el valor absoluto de cada una por separado.

Desarrollo

Recta normal en $x = 0$ .

f(0) = 0, \qquad f'(x) = 3x^{2} - 1, \qquad f'(0) = -1

La tangente tiene pendiente

-1

, luego la normal tiene pendiente

m_{N} = -\frac{1}{-1} = 1

y pasa por el origen:

n \equiv y = x

Puntos de corte con la cúbica.

x^{3} - x = x \;\Longrightarrow\; x^{3} - 2x = 0 \;\Longrightarrow\; x\bigl(x^{2} - 2\bigr) = 0

x = 0, \qquad x = \sqrt{2}, \qquad x = -\sqrt{2}

Hay tres cortes, luego dos recintos: uno en

\left[-\sqrt{2}, 0\right]

y otro en

\left[0, \sqrt{2}\right]

.

Qué función va por encima. Llamando

h(x) = f(x) - x = x^{3} - 2x = x\bigl(x^{2}-2\bigr)

En $\left(-\sqrt{2}, 0\right)$ : $x < 0$ y $x^{2} - 2 < 0$ , luego $h > 0$ : la cúbica está por encima.
En $\left(0, \sqrt{2}\right)$ : $x > 0$ y $x^{2} - 2 < 0$ , luego $h < 0$ : la recta está por encima.

Primitiva.

\int \bigl(x^{3} - 2x\bigr)dx = \frac{x^{4}}{4} - x^{2}

Primer recinto.

A_{1} = \int_{-\sqrt{2}}^{0}\bigl(x^{3} - 2x\bigr)dx = \left[\frac{x^{4}}{4} - x^{2}\right]_{-\sqrt{2}}^{0} = 0 - \left(\frac{4}{4} - 2\right) = 0 - (-1) = 1

Segundo recinto.

\int_{0}^{\sqrt{2}}\bigl(x^{3} - 2x\bigr)dx = \left[\frac{x^{4}}{4} - x^{2}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \bigl(1 - 2\bigr) - 0 = -1 \;\Longrightarrow\; A_{2} = |-1| = 1

Área total.

A = A_{1} + A_{2} = 1 + 1 = 2 \ \text{unidades cuadradas}

(La igualdad $A_{1} = A_{2}$ no es casualidad: tanto $f$ como la recta $y = x$ son funciones impares, así que la figura completa es simétrica respecto del origen y los dos recintos son congruentes.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Área total de los recintos" avisa de que hay más de uno. Si integras de golpe de $-\sqrt{2}$ a $\sqrt{2}$ obtienes cero, porque los dos recintos se cancelan al ser la figura simétrica respecto del origen. Hay que partir en los cortes y tomar valores absolutos.

Y no confundas la normal con la tangente: la pendiente es $-1/f'(0)$ , no $f'(0)$ . Aquí $f'(0) = -1$ , así que la normal tiene pendiente $+1$ ; si usaras la tangente, $y = -x$ , los cortes y el área saldrían distintos.