Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2025 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque con optatividad 1). Calcula

\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^{4} - 6x^{2} + 10}\,dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = x^{2} - 3$ .)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^{4}-6x^{2}+10}\,dx = \frac{\pi}{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado regala el cambio, pero conviene entender por qué es ese. El denominador es una bicuadrada sin raíces reales: completando cuadrados en

x^{2}

x^{4} - 6x^{2} + 10 = \bigl(x^{2} - 3\bigr)^{2} + 1

que con

t = x^{2}-3

se convierte en

t^{2}+1

, el denominador del arcotangente. Y el numerador,

4x\,dx

, es casi exactamente

dt = 2x\,dx

: sobra un factor

2

que sale fuera.

Al ser una integral definida, lo más limpio es cambiar también los límites y no deshacer nunca el cambio.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = x^{2} - 3 \;\Longrightarrow\; dt = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; 4x\,dx = 2\,dt

El denominador. Completando cuadrados:

x^{4} - 6x^{2} + 10 = \bigl(x^{4} - 6x^{2} + 9\bigr) + 1 = \bigl(x^{2}-3\bigr)^{2} + 1 = t^{2} + 1

Los límites.

x = \sqrt{3} \;\Longrightarrow\; t = 3 - 3 = 0 \qquad\qquad x = 2 \;\Longrightarrow\; t = 4 - 3 = 1

La integral transformada.

\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^{4}-6x^{2}+10}\,dx = \int_{0}^{1} \frac{2\,dt}{t^{2}+1} = 2\Bigl[\arctan(t)\Bigr]_{0}^{1}

= 2\bigl(\arctan(1) - \arctan(0)\bigr) = 2\left(\frac{\pi}{4} - 0\right) = \frac{\pi}{2}

Comprobación deshaciendo el cambio. Una primitiva en la variable original es

F(x) = 2\arctan\bigl(x^{2}-3\bigr)

, y en efecto

F'(x) = 2\cdot\frac{2x}{(x^{2}-3)^{2}+1} = \frac{4x}{x^{4}-6x^{2}+10}

F(2) - F(\sqrt{3}) = 2\arctan(1) - 2\arctan(0) = \frac{\pi}{2}

(Nota: el resultado es positivo, como debía ser: el integrando es positivo en todo $[\sqrt{3},2]$ , porque $4x>0$ y el denominador $(x^{2}-3)^{2}+1 \geq 1 > 0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando cambies de variable en una integral definida, cambia también los límites. Si los dejas en $\sqrt{3}$ y $2$ pero integras en $t$ , el resultado sale mal; y si prefieres deshacer el cambio, hazlo antes de aplicar Barrow.

El truco de reconocer $x^{4}-6x^{2}+10 = (x^{2}-3)^{2}+1$ vale para cualquier bicuadrada sin raíces reales. Intentar factorizar o descomponer en fracciones simples aquí no lleva a ninguna parte: el discriminante en $x^{2}$ es $36 - 40 = -4 < 0$ .