Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2022 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Calcula

a

b

sabiendo que

\lim_{x \to 0} \frac{a\operatorname{sen}(x) + x\ln(x + 1) + b\,x^{2}}{x^{3} + x^{2}} = 2

(donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Numerador } = a\,x + (1+b)x^{2} + O(x^{3}); \quad \text{denominador de orden } 2\;}

\boxed{\;a = 0 \quad \text{(para que el límite sea finito)}, \qquad b = 1 \quad \text{(para que valga 2)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos incógnitas y aparentemente una sola condición. La segunda ecuación está escondida: el denominador

x^{3}+x^{2} = x^{2}(1+x)

es un infinitésimo de orden dos, así que para que el límite sea un número finito el numerador tiene que serlo también. Es decir, el coeficiente de

x

en el numerador debe anularse, y de ahí sale

a

.

Con eso ya solo queda igualar los coeficientes de

x^{2}

para obtener

b

.

Se puede hacer con desarrollos de Taylor (más rápido y más transparente) o con L'Hôpital aplicado dos veces. Desarrollo el primero y verifico con el segundo.

Desarrollo

Desarrollos en torno a $x = 0$ .

\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^{3}}{6} + \cdots

\ln(1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \cdots \;\Longrightarrow\; x\ln(x+1) = x^{2} - \frac{x^{3}}{2} + \cdots

Numerador.

N(x) = a\left(x - \frac{x^{3}}{6}\right) + \left(x^{2} - \frac{x^{3}}{2}\right) + b\,x^{2} + \cdots = a\,x + (1 + b)\,x^{2} + O\!\left(x^{3}\right)

Denominador.

D(x) = x^{3} + x^{2} = x^{2}\,(1 + x)

es un infinitésimo de orden exactamente $2$ .

Primera condición: que el límite sea finito. Si

a \neq 0

, el numerador sería un infinitésimo de orden

1

y el cociente se comportaría como

\dfrac{a\,x}{x^{2}} = \dfrac{a}{x} \to \pm\infty

. Para que el límite exista y valga

2

hace falta

a = 0

Segunda condición: el valor del límite. Con

a = 0

\lim_{x\to 0}\frac{(1+b)x^{2} + O(x^{3})}{x^{2}(1+x)} = \frac{1 + b}{1} = 1 + b

1 + b = 2 \;\Longrightarrow\; b = 1

Comprobación con L'Hôpital. Con

a = 0

b = 1

el límite es

\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(x+1) + x^{2}}{x^{3} + x^{2}}

Numerador y denominador se anulan en

0

. Primera aplicación:

\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1) + \dfrac{x}{x+1} + 2x}{3x^{2} + 2x}

Sigue siendo

\frac{0}{0}

. Segunda aplicación:

\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{1}{(x+1)^{2}} + 2}{6x + 2} = \frac{1 + 1 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \quad \checkmark

(Un tanteo numérico lo confirma: para $x = 10^{-3}$ el cociente vale $\approx 1{,}9975$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando hay dos parámetros y un solo límite, la segunda ecuación casi siempre es "que el límite exista y sea finito". Compara los órdenes de numerador y denominador: si el numerador fuese de orden menor, el límite sería infinito, y esa imposibilidad es la que te despeja el primer parámetro.

Con Taylor basta desarrollar hasta el orden del denominador ( $x^{2}$ aquí); los términos de orden superior van dentro del $O(x^{3})$ y no influyen. Desarrollar de más es perder tiempo, y desarrollar de menos te deja sin el coeficiente que necesitas.