Integrales

a) Cortes con los ejes.

Con el eje $OY$ ($x=0$): $f(0) = 0$, luego el punto $(0,0)$.

Con el eje $OX$ ($f(x)=0$):$$x^{3} - 6x^{2} + 8x = x\bigl(x^{2} - 6x + 8\bigr) = x\,(x-2)(x-4) = 0$$$$x = 0, \qquad x = 2, \qquad x = 4$$Los cortes con los ejes son $(0,0)$, $(2,0)$ y $(4,0)$.

Esbozo. Es una cúbica con coeficiente principal positivo, así que viene de $-\infty$ y se va a $+\infty$. Con las tres raíces se lee el signo:$$\begin{array}{c|c|c|c|c} x & (-\infty,0) & (0,2) & (2,4) & (4,+\infty) \\ \hline f(x) & - & + & - & + \end{array}$$Los extremos relativos salen de $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 8 = 0$, es decir $x = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$, o sea $x \approx 0{,}85$ (máximo relativo, $f \approx 3{,}08$) y $x \approx 3{,}15$ (mínimo relativo, $f \approx -3{,}08$). La gráfica sube desde abajo hasta ese máximo, baja cortando el eje en $x=2$ hasta el mínimo y vuelve a subir cortando en $x=4$. Los dos recintos que se piden son la "joroba" sobre el eje entre $x=0$ y $x=2$, y la "cuba" bajo el eje entre $x=2$ y $x=4$.

b) Las dos áreas. Una primitiva común:$$F(x) = \int \bigl(x^{3}-6x^{2}+8x\bigr)dx = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{3} + 4x^{2}$$Primer recinto, $[0,2]$ (con $f \geq 0$):$$\int_{0}^{2} f = \left[\frac{x^{4}}{4} - 2x^{3} + 4x^{2}\right]_{0}^{2} = \bigl(4 - 16 + 16\bigr) - 0 = 4$$$$A_{1} = 4$$Segundo recinto, $[2,4]$ (con $f \leq 0$):$$\int_{2}^{4} f = \bigl(64 - 128 + 64\bigr) - \bigl(4 - 16 + 16\bigr) = 0 - 4 = -4$$$$A_{2} = |-4| = 4$$Suma de las áreas:$$A = A_{1} + A_{2} = 4 + 4 = 8 \ \text{unidades cuadradas}$$(Que las dos salgan iguales no es casualidad: la cúbica es simétrica respecto de su punto de inflexión, que está en $x=2$, justo la raíz central.)