Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje

OX

, un vértice está en la recta

y = x

y el otro, en la recta

y = 4 - x

. Se pide:

Rectángulo con la base sobre el eje OX, el vértice superior izquierdo sobre la recta y = x y el superior derecho sobre la recta y = 4 − x; a es la abscisa del lado izquierdo

a) [0,25 puntos] Halla la altura del rectángulo en función de

a

(ver la figura).

b) [1 punto] Halla la base del rectángulo en función de

a

.

c) [1,25 puntos] Encuentra el valor de

a

que hace máximo el área del rectángulo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \text{altura} = a \quad (\text{el vértice izquierdo está en } y = x)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{base} = (4-a) - a = 4 - 2a\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad A(a) = 4a - 2a^{2}, \quad A'(a) = 4-4a = 0 \Rightarrow a = 1, \quad A'' = -4 < 0; \quad A_{\max} = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El enunciado guía el problema paso a paso, y la clave está en leer bien la figura: $a$ es la abscisa del lado izquierdo del rectángulo.

El vértice superior izquierdo está sobre $y = x$ , así que su ordenada es $a$ : esa es la altura.
El vértice superior derecho tiene la misma altura y está sobre $y = 4-x$ : de ahí sale su abscisa, y restando se obtiene la base.

Con eso, el área queda en función de una sola variable y se optimiza como siempre.

Desarrollo

a) La altura. El vértice superior izquierdo tiene abscisa

a

y está sobre la recta

y = x

\text{altura} = a

b) La base. El vértice superior derecho tiene la misma altura

a

y está sobre

y = 4-x

a = 4 - x \;\Longrightarrow\; x = 4 - a

La base va desde

x = a

hasta

x = 4-a

\text{base} = (4 - a) - a = 4 - 2a

(Para que el rectángulo exista hace falta $0 < a < 2$ : la base debe ser positiva. Nótese que las dos rectas se cortan en $(2,2)$ .)

c) Área y optimización.

A(a) = \text{base}\times\text{altura} = a\,(4 - 2a) = 4a - 2a^{2}, \qquad a \in (0,\, 2)

A'(a) = 4 - 4a = 0 \;\Longrightarrow\; a = 1

Comprobación de que es máximo.

A''(a) = -4 < 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo}

(También se ve sin derivar: $A$ es una parábola hacia abajo con ceros en $a=0$ y $a=2$ , así que su vértice está en el punto medio, $a=1$ .)

Dimensiones del rectángulo óptimo.

a = 1 \;\Longrightarrow\; \text{altura} = 1, \quad \text{base} = 4 - 2 = 2, \quad A_{\max} = 2 \ \text{unidades cuadradas}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee la figura antes de plantear. Aquí $a$ no es la base ni la mitad de la base: es la abscisa del lado izquierdo. Confundirlo cambia por completo las dos primeras respuestas, aunque el método de optimización sea correcto.

Recuerda que el rectángulo tiene los dos vértices superiores a la misma altura: esa es la condición que permite despejar la abscisa derecha de $y = 4-x$ .

Indica el dominio $0 < a < 2$ : fuera de ahí la base sería negativa y el problema no tendría sentido geométrico. Es un detalle que se valora y además confirma que el máximo encontrado está dentro del intervalo.