Ejercicio 1 (bloque A). Sea f la función continua definida por f(x) = \begin{cases} x^{2} + 2 & \text{si } x \leq 0 \\[6pt] \sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\[6pt] \dfrac{-x}{2\sqrt{2}} + \dfrac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases} a) [1,25 puntos] Calcula a y b. b) [1,25 puntos] Para a = -1 y b = 4, estudia si existe la derivada de f en x = 2. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2022 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 1 (bloque A). Sea

f

la función continua definida por

f(x) = \begin{cases} x^{2} + 2 & \text{si } x \leq 0 \\[6pt] \sqrt{ax + b} & \text{si } 0 < x \leq 2 \\[6pt] \dfrac{-x}{2\sqrt{2}} + \dfrac{3}{\sqrt{2}} & \text{si } 2 < x \end{cases}

a) [1,25 puntos] Calcula

a

b

.

b) [1,25 puntos] Para

a = -1

b = 4

, estudia si existe la derivada de

f

x = 2

. En caso afirmativo, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en dicho punto.

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -1, \qquad b = 4\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f'(2^{-}) = f'(2^{+}) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \;\Longrightarrow\; f \text{ es derivable en } x = 2\;}

\boxed{\;y = -\frac{\sqrt{2}}{4}\,x + \frac{3\sqrt{2}}{2}\;}

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Estrategia

Como en todas las funciones a trozos con parámetros, la continuidad en los dos empalmes da las dos ecuaciones. En

x = 0

sale

b

de inmediato; en

x = 2

sale

a

.

En b) hay que comparar las derivadas laterales en

x = 2

. Y aquí el ejercicio guarda una sorpresa agradable: coinciden, y además la recta tangente resulta ser exactamente la tercera rama de la función. Tiene sentido: el tercer trozo es una recta, y si la función es derivable en el empalme, esa recta tiene que ser tangente a la curva de la izquierda.

Desarrollo

a) Continuidad en $x = 0$ .

\lim_{x\to 0^{-}} f(x) = 0 + 2 = 2, \qquad \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = \sqrt{a\cdot 0 + b} = \sqrt{b}

\sqrt{b} = 2 \;\Longrightarrow\; b = 4

Continuidad en $x = 2$ .

\lim_{x\to 2^{-}} f(x) = \sqrt{2a + b} = \sqrt{2a + 4}

\lim_{x\to 2^{+}} f(x) = \frac{-2}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

\sqrt{2a + 4} = \sqrt{2} \;\Longrightarrow\; 2a + 4 = 2 \;\Longrightarrow\; a = -1

a = -1, \qquad b = 4

(Coherencia: con $a=-1$ y $b=4$ , el radicando $-x+4$ es positivo en todo $(0,2]$ , así que la raíz está bien definida.)

b) Derivabilidad en $x = 2$ . Con

a=-1

b=4

, el segundo trozo es

\sqrt{4 - x}

.

Derivada por la izquierda:

\frac{d}{dx}\sqrt{4-x} = \frac{-1}{2\sqrt{4-x}} \;\Longrightarrow\; f'(2^{-}) = \frac{-1}{2\sqrt{2}}

Derivada por la derecha: el tercer trozo es una recta de pendiente constante

f'(2^{+}) = \frac{-1}{2\sqrt{2}}

Las dos coinciden, y además

f

es continua en

x=2

, luego $f$ sí es derivable en $x=2$ , con

f'(2) = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \approx -0{,}354

Recta tangente. El punto es

\bigl(2,\, f(2)\bigr) = \bigl(2,\, \sqrt{2}\bigr)

y - \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\,(x - 2)

y = -\frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{3\sqrt{2}}{2}

Observación. Esta recta es la tercera rama de la propia función:

\frac{-x}{2\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{x\sqrt{2}}{4} + \frac{3\sqrt{2}}{2}

(racionalizando

\frac{1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{4}

\frac{3}{\sqrt2} = \frac{3\sqrt2}{2}

). Es decir: el enunciado ha construido el tercer trozo como la prolongación tangente de la raíz, y por eso la función empalma suavemente.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con raíces cuadradas, no basta con elevar al cuadrado: comprueba que el radicando es positivo en todo el intervalo. Aquí $-x+4 > 0$ para $x \in (0,2]$ sin problema, pero si saliera negativo la solución habría que descartarla.

Y racionaliza antes de comparar. Con $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ por un lado y $\frac{\sqrt{2}}{4}$ por otro es fácil creer que son distintos cuando son el mismo número. Pasar todo a la misma forma es lo que te deja ver de golpe que las derivadas laterales coinciden.