Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea la función

f : (0,+\infty)\to\mathbb{R}

definida por

f(x) = \dfrac{1}{x}+\ln(x)

, donde

\ln

denota la función logaritmo neperiano.

a) [1,75 puntos] Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo

\left[\dfrac1e,\; e\right]

.

b) [0,75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = e

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = \frac{x-1}{x^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \ (\text{interior al intervalo})\;}

\boxed{\;f\!\left(\tfrac1e\right) = e-1 \approx 1{,}72; \quad f(1) = 1; \quad f(e) = 1+\tfrac1e \approx 1{,}37\;}

\boxed{\;\text{Máximo absoluto } \left(\tfrac1e,\, e-1\right); \qquad \text{Mínimo absoluto } (1,\, 1)\;}

\boxed{\;\text{b) } y = \left(1+\tfrac1e\right)+\frac{e-1}{e^{2}}\,(x-e) \iff y = \frac{e-1}{e^{2}}\,x+\frac{2}{e}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Extremos absolutos en un intervalo cerrado: por el teorema de Weierstrass existen, y los candidatos son los extremos del intervalo y los puntos críticos interiores. Se evalúa $f$ en todos ellos y se comparan los valores.
b) Fórmula de la tangente $y = f(e)+f'(e)(x-e)$ , con la derivada ya calculada en a).

Al derivar, conviene unir en una sola fracción: el signo de

f'

lo decide entonces un factor sencillo.

Desarrollo

La derivada.

f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x} = \frac{-1+x}{x^{2}} = \frac{x-1}{x^{2}}

a) Puntos críticos. Como

x^{2}>0

en el dominio, el signo es el de

x-1

f'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \in \left[\tfrac1e,\, e\right]

\tfrac1e<x<1: \; f'<0 \;\Rightarrow\; \text{decrece} \qquad 1<x<e: \; f'>0 \;\Rightarrow\; \text{crece}

Los candidatos.

f\!\left(\frac1e\right) = e+\ln\frac1e = e-1 \approx 1{,}718

f(1) = 1+\ln 1 = 1

f(e) = \frac1e+\ln e = \frac1e+1 \approx 1{,}368

Comparación.

\textbf{Máximo absoluto: } \left(\frac1e,\; e-1\right) \qquad \textbf{Mínimo absoluto: } (1,\; 1)

(El mínimo era previsible: $f$ decrece antes de $x=1$ y crece después.)

b) La tangente en $x = e$ .

f(e) = 1+\frac1e \qquad f'(e) = \frac{e-1}{e^{2}}

y-\left(1+\frac1e\right) = \frac{e-1}{e^{2}}\,(x-e)

y = \frac{e-1}{e^{2}}\,x+1+\frac1e-\frac{e-1}{e} = \frac{e-1}{e^{2}}\,x+\frac{e+1-(e-1)}{e} = \frac{e-1}{e^{2}}\,x+\frac{2}{e}

(Numéricamente: pendiente $\approx0{,}2325$ y ordenada en el origen $\approx0{,}736$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para extremos absolutos en un cerrado hay que evaluar en los tres candidatos: los dos extremos del intervalo y el punto crítico. Quedarse solo con $f'=0$ te haría perder el máximo.

Recuerda $\ln\frac1e = -1$ y $\frac{1}{1/e} = e$ : son las dos sustituciones donde más se falla al evaluar en $x = \frac1e$ .

Compara los valores numéricamente ( $1{,}72$ frente a $1{,}37$ ): con expresiones como $e-1$ y $1+\frac1e$ no se puede decidir a ojo cuál es mayor.