Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{1}^{16}\frac{dx}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}

(sugerencia: $t = \sqrt[4]{x}$ ).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;t = \sqrt[4]{x} \;\Longrightarrow\; x = t^{4},\; dx = 4t^{3}dt,\; \sqrt x = t^{2}; \qquad x=1\to t=1,\; x=16\to t=2\;}

\boxed{\;\int_{1}^{2}\frac{4t^{3}}{t^{2}+t}\,dt = \int_{1}^{2}\frac{4t^{2}}{t+1}\,dt = \int_{1}^{2}\left(4t - 4 + \frac{4}{t+1}\right)dt\;}

\boxed{\;= \Bigl[2t^{2} - 4t + 4\ln(t+1)\Bigr]_{1}^{2} = 2 + 4\ln\frac{3}{2} \approx 3{,}62\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral con radicales de índices distintos. El cambio estándar es

t = \sqrt[n]{x}

con

n

el mínimo común múltiplo de los índices; aquí

\operatorname{mcm}(2,4) = 4

, justo la sugerencia.

Con

t = x^{1/4}

se tiene

x = t^{4}

dx = 4t^{3}dt

, y además

\sqrt{x} = x^{1/2} = t^{2}

de modo que todos los radicales desaparecen y queda una integral racional. Al ser definida, hay que transformar también los límites.

Desarrollo

El cambio de variable.

t = \sqrt[4]{x} \;\Longrightarrow\; x = t^{4}, \qquad dx = 4t^{3}\,dt, \qquad \sqrt{x} = t^{2}

Los nuevos límites.

x = 1 \;\Longrightarrow\; t = 1, \qquad x = 16 \;\Longrightarrow\; t = \sqrt[4]{16} = 2

La integral transformada.

\int_{1}^{16}\frac{dx}{\sqrt x + \sqrt[4]{x}} = \int_{1}^{2}\frac{4t^{3}}{t^{2} + t}\,dt = \int_{1}^{2}\frac{4t^{3}}{t\,(t+1)}\,dt = \int_{1}^{2}\frac{4t^{2}}{t+1}\,dt

División (el numerador tiene grado mayor):

4t^{2} = (t+1)\,(4t - 4) + 4 \;\Longrightarrow\; \frac{4t^{2}}{t+1} = 4t - 4 + \frac{4}{t+1}

(Comprobación: $(t+1)(4t-4) = 4t^{2} - 4$ , y falta $+4$ .)

Integración.

\int_{1}^{2}\left(4t - 4 + \frac{4}{t+1}\right)dt = \Bigl[2t^{2} - 4t + 4\ln(t+1)\Bigr]_{1}^{2}

En $t = 2$ :

\;8 - 8 + 4\ln 3 = 4\ln 3

En $t = 1$ :

\;2 - 4 + 4\ln 2 = -2 + 4\ln 2

= 4\ln 3 - \bigl(-2 + 4\ln 2\bigr) = 2 + 4\bigl(\ln 3 - \ln 2\bigr) = 2 + 4\ln\frac{3}{2}

\int_{1}^{16}\frac{dx}{\sqrt x + \sqrt[4]{x}} = 2 + 4\ln\frac{3}{2} \approx 2 + 1{,}622 = 3{,}62

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con radicales de índices distintos, el cambio correcto es $t = \sqrt[n]{x}$ con $n$ el mínimo común múltiplo de los índices. Aquí $n=4$ elimina los dos a la vez; con $n=2$ el $\sqrt[4]{x}$ sobreviviría.

Simplifica antes de dividir: $\frac{4t^{3}}{t^{2}+t} = \frac{4t^{3}}{t(t+1)} = \frac{4t^{2}}{t+1}$ . Ese paso reduce el grado del numerador y hace la división mucho más corta.

Y al ser una integral definida, cambia los límites ( $1$ y $2$ , no $1$ y $16$ ) y ya no tendrás que deshacer el cambio. Es el error más frecuente de todo el ejercicio.