Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2018 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

la función definida por

f(x) = x + x\,e^{-x}

a) [1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

que es paralela a la recta

x - y + 1 = 0

.

b) [1,25 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 1 + (1-x)e^{-x}; \qquad f'(x) = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = 1\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad f(1) = 1 + \tfrac1e \;\Longrightarrow\; y = x + \frac{1}{e}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Sin verticales ni horizontales}; \quad \text{oblicua } y = x \text{ solo en } +\infty\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) no se da el punto de tangencia: se da la pendiente. La recta

x-y+1=0

y = x+1

, de pendiente

1

, así que hay que resolver

f'(x) = 1

y con la solución construir la tangente.

En b), la función es continua en todo

\mathbb{R}

(no hay verticales) y hay que mirar los dos infinitos por separado, porque

e^{-x}

se comporta de forma opuesta en cada uno: tiende a

0

+\infty

y explota en

-\infty

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = 1 + e^{-x} + x\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr) = 1 + (1 - x)\,e^{-x}

Imponiendo pendiente $1$ .

1 + (1-x)e^{-x} = 1 \;\Longrightarrow\; (1-x)\,e^{-x} = 0

Como

e^{-x} > 0

siempre:

1 - x = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1

El punto de tangencia.

f(1) = 1 + 1\cdot e^{-1} = 1 + \frac{1}{e} \approx 1{,}368

La recta tangente.

y - \left(1 + \frac1e\right) = 1\cdot(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = x + \frac{1}{e}

(Es paralela a $y = x+1$ , como se pedía, pero distinta: la ordenada en el origen es $\tfrac1e \approx 0{,}37$ en vez de $1$ .)

b) Asíntotas.

Verticales:

f

es continua en todo

\mathbb{R}

(suma y producto de funciones continuas), luego no hay.

Horizontales:

\lim_{x\to +\infty}\bigl(x + x e^{-x}\bigr) = +\infty, \qquad \lim_{x\to -\infty}\bigl(x + x e^{-x}\bigr) = -\infty

(En $-\infty$ , $x\to-\infty$ y $e^{-x}\to+\infty$ , luego $xe^{-x}\to-\infty$ .) No hay horizontales.

Oblicuas. Se estudian por separado en cada infinito.

En $+\infty$ :

m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\bigl(1 + e^{-x}\bigr) = 1

n = \lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x) - x\bigr) = \lim_{x\to+\infty} x\,e^{-x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}} \;\overset{\infty/\infty}{=}\; \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x}} = 0

\textbf{Asíntota oblicua } y = x \text{ cuando } x\to +\infty

En $-\infty$ :

m = \lim_{x\to-\infty}\bigl(1 + e^{-x}\bigr) = +\infty

Al no ser finito, no hay asíntota por ese lado.

(La curva se acerca a la recta $y=x$ por la derecha —justo la dirección de la tangente del apartado a)— y se aleja indefinidamente por la izquierda.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Tangente paralela a una recta dada" significa que se conoce la pendiente, no el punto. El planteamiento es $f'(x) = m$ , y el punto de tangencia sale de ahí.

Estudia las oblicuas en cada infinito por separado. Aquí en $+\infty$ existe ( $y=x$ ) y en $-\infty$ no, porque $e^{-x}$ se dispara. Dar una sola respuesta global sería inexacto.

Al derivar $x\,e^{-x}$ , la cadena aporta un signo menos: $\bigl(xe^{-x}\bigr)' = (1-x)e^{-x}$ . Ese paréntesis es justo lo que hace que $f'(x)=1$ tenga solución única.