Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 6 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

\;f(x) = x+e^{-x}

.

a) [0,75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de

f

, así como los extremos relativos o locales.

b) [0,5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de

f

.

c) [0,75 puntos] Determina las asíntotas de la gráfica de

f

.

d) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f'(x) = 1-e^{-x} = 0 \iff x = 0; \ \ \text{decrece en } (-\infty,0), \text{ crece en } (0,\infty)\;}

\boxed{\;\text{Mínimo (absoluto) en } (0,\,1)\;}

\boxed{\;f''(x) = e^{-x} > 0 \;\Longrightarrow\; \text{convexa en } \mathbb{R}, \text{ sin inflexiones}\;}

\boxed{\;\text{A. oblicua } y = x \ \text{solo en } +\infty; \ \text{no hay verticales ni horizontales}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las derivadas son inmediatas y muy limpias:

f'(x) = 1-e^{-x} \qquad f''(x) = e^{-x}

La primera se anula solo en $x=0$ (donde $e^{-x} = 1$ ).
La segunda es siempre positiva: la función es convexa en todo $\mathbb{R}$ y no tiene puntos de inflexión.
Para las asíntotas, ojo con la asimetría entre $+\infty$ y $-\infty$ : solo por la derecha aparece la oblicua $y = x$ .

Desarrollo

a) Crecimiento y extremos.

f'(x) = 1-e^{-x} = 0 \;\Longleftrightarrow\; e^{-x} = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = 0

El signo:

\;e^{-x}>1 \iff x<0

, así que

x<0 \Rightarrow f'<0 \ \text{(decrece)} \qquad x>0 \Rightarrow f'>0 \ \text{(crece)}

\textbf{Decrece en } (-\infty,\,0) \qquad \textbf{Crece en } (0,\,+\infty)

\textbf{Mínimo relativo en } (0,\,1) \qquad \bigl(f(0) = 0+e^{0} = 1\bigr)

(Al ser el único extremo y cambiar de decreciente a creciente, es también mínimo absoluto.)

b) Concavidad y convexidad.

f''(x) = e^{-x} > 0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R}

\textbf{Convexa } (\cup) \textbf{ en todo } \mathbb{R}, \textbf{ sin puntos de inflexión}

c) Asíntotas.

Verticales: no hay (

f

es continua en todo

\mathbb{R}

).

Horizontales:

\lim_{x\to+\infty}\bigl(x+e^{-x}\bigr) = +\infty \qquad \lim_{x\to-\infty}\bigl(x+e^{-x}\bigr) = +\infty

(Por la izquierda, $e^{-x}\to+\infty$ y domina sobre $x\to-\infty$ .)

No hay horizontales.

Oblicua en $+\infty$ :

m = \lim_{x\to+\infty}\frac{x+e^{-x}}{x} = \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{e^{-x}}{x}\right) = 1

n = \lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-x\bigr] = \lim_{x\to+\infty}e^{-x} = 0

\textbf{Asíntota oblicua } y = x \ \text{ cuando } x\to+\infty

Oblicua en $-\infty$ : no hay, porque

\lim_{x\to-\infty}\frac{x+e^{-x}}{x} = \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{e^{-x}}{x}\right) = -\infty

(El numerador tiende a $+\infty$ y el denominador a $-\infty$ .)

d) El esbozo. Rama izquierda que baja desde

+\infty

, mínimo en

(0,1)

, y rama derecha creciente que se pega a la recta

y = x

por encima (ya que

f(x)-x = e^{-x}>0

). Curva convexa en todo su recorrido.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La exponencial $e^{-x}$ nunca se anula, así que $f''>0$ siempre: la función es convexa en todo $\mathbb{R}$ y no puede tener puntos de inflexión. Buscarlos es perder tiempo.

Las asíntotas oblicuas pueden existir en un solo extremo. Aquí solo en $+\infty$ : hay que calcular los dos límites y decirlo explícitamente.

Como $f(x)-x = e^{-x}>0$ , la curva va siempre por encima de la asíntota $y=x$ . Ese detalle mejora mucho el esbozo del apartado d).