Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Optimización

Andalucía · 2023 · Reserva 4

Enunciado

Ejercicio 2 (bloque A). En una fábrica de pinturas, las latas que se utilizan para envasar la pintura tienen forma cilíndrica y una capacidad de

20

litros. Halla las dimensiones del cilindro, con tapas, para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r = \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}} \approx 1{,}47 \ \text{dm} = 14{,}71 \ \text{cm}\;}

\boxed{\;h = 2r \approx 2{,}94 \ \text{dm} = 29{,}42 \ \text{cm}, \qquad S_{\min} \approx 40{,}79 \ \text{dm}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Optimización clásica con dos superficies:

Función a minimizar: la superficie total del cilindro con tapas, es decir, las dos bases más el lateral:

S = 2\pi r^{2} + 2\pi r h

Ligadura: el volumen es $20$ litros, $V = \pi r^{2}h = 20$ .

Conviene trabajar en decímetros, porque

1

litro

= 1

^{3}

y así el

20

entra sin conversiones. El resultado se pasa a centímetros al final.

El truco de siempre: despejar

h

de la ligadura y sustituir, para quedarse con una función de una sola variable.

Desarrollo

Planteamiento. Sea

r

el radio y

h

la altura, en decímetros.

\pi r^{2} h = 20 \;\Longrightarrow\; h = \frac{20}{\pi r^{2}}

S(r) = 2\pi r^{2} + 2\pi r\,h = 2\pi r^{2} + 2\pi r\cdot\frac{20}{\pi r^{2}} = 2\pi r^{2} + \frac{40}{r}, \qquad r > 0

Derivada.

S'(r) = 4\pi r - \frac{40}{r^{2}} = \frac{4\pi r^{3} - 40}{r^{2}}

S'(r) = 0 \;\Longleftrightarrow\; 4\pi r^{3} = 40 \;\Longleftrightarrow\; r^{3} = \frac{10}{\pi} \;\Longleftrightarrow\; r = \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}}

r \approx \sqrt[3]{3{,}1831} \approx 1{,}471 \ \text{dm} = 14{,}71 \ \text{cm}

Comprobación de que es mínimo.

S''(r) = 4\pi + \frac{80}{r^{3}} > 0 \quad \text{para todo } r > 0

La segunda derivada es siempre positiva, luego el punto crítico es un mínimo (y, al ser

S

convexa en todo el dominio, mínimo absoluto).

Altura.

h = \frac{20}{\pi r^{2}} = \frac{20}{\pi\,(1{,}471)^{2}} \approx \frac{20}{6{,}797} \approx 2{,}942 \ \text{dm} = 29{,}42 \ \text{cm}

La relación oculta. Sustituyendo

r^{3} = \frac{10}{\pi}

en la expresión de la altura:

h = \frac{20}{\pi r^{2}} = \frac{20}{\pi r^{2}}\cdot\frac{r}{r} = \frac{20\,r}{\pi r^{3}} = \frac{20\,r}{\pi\cdot\frac{10}{\pi}} = 2r

Es decir, la altura es igual al diámetro: el cilindro óptimo con tapas es el que "cabe justo en un cubo". Es un resultado general que sirve de comprobación.

Superficie mínima.

S = 2\pi\,(1{,}471)^{2} + \frac{40}{1{,}471} \approx 13{,}59 + 27{,}19 \approx 40{,}79 \ \text{dm}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Con tapas" significa dos bases: $S = 2\pi r^{2} + 2\pi rh$ . Si el enunciado dijera "sin tapa" (un bote abierto) sería $S = \pi r^{2} + 2\pi rh$ y el resultado cambiaría a $h = r$ . Lee esa palabra con atención, porque decide el problema entero.

Cuida las unidades desde el principio: $20$ litros son $20$ dm $^{3}$ . Si escribes $\pi r^{2}h = 20$ pensando en centímetros, el radio te sale diez veces más pequeño de lo que debe. Y comprueba al final la relación $h = 2r$ : es la firma de que el planteamiento con tapas está bien hecho.