Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2021 · Junio

Enunciado

Ejercicio 4 (bloque A). Considera la función

F : [0, +\infty) \to \mathbb{R}

definida por

F(x) = \int_{0}^{x}\left(2t + \sqrt{t}\right)dt

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

F

en el punto de abscisa

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F(x) = x^{2} + \frac{2}{3}x^{3/2}, \qquad F(1) = \frac{5}{3}, \qquad F'(1) = 3\;}

\boxed{\;y = 3x - \frac{4}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para una recta tangente hacen falta dos cosas, y cada una sale por un camino distinto:

La pendiente es $F'(1)$ , y el teorema fundamental del cálculo la da sin integrar nada: $F'(x)$ es simplemente el integrando evaluado en $x$ .
La ordenada es $F(1)$ , y para eso sí hay que integrar. Por suerte el integrando es una suma de potencias y la primitiva es inmediata escribiendo $\sqrt{t} = t^{1/2}$ .

Desarrollo

Pendiente, por el teorema fundamental del cálculo.

F'(x) = 2x + \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; F'(1) = 2 + 1 = 3

Ordenada: cálculo de $F(1)$ . Escribimos la raíz como potencia:

\int\left(2t + t^{1/2}\right)dt = t^{2} + \frac{t^{3/2}}{3/2} = t^{2} + \frac{2}{3}t^{3/2}

F(x) = \left[t^{2} + \frac{2}{3}t^{3/2}\right]_{0}^{x} = x^{2} + \frac{2}{3}x^{3/2}

F(1) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}

(Comprobación: derivando $F(x) = x^{2} + \frac{2}{3}x^{3/2}$ se obtiene $2x + \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} = 2x + \sqrt{x}$ , que es el integrando. Correcto.)

Recta tangente.

y - F(1) = F'(1)\,(x - 1)

y - \frac{5}{3} = 3\,(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 3x - 3 + \frac{5}{3}

y = 3x - \frac{4}{3}

Numéricamente,

y \approx 3x - 1{,}33

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No integres para calcular la pendiente: el teorema fundamental del cálculo dice que $F'(x)$ es el integrando, sin más. Solo hace falta integrar para la ordenada $F(1)$ . Separar así los dos papeles ahorra la mitad del trabajo y evita el error de derivar la primitiva ya calculada (que da lo mismo, pero por el camino largo).

Convierte las raíces en potencias antes de integrar: $\sqrt{t} = t^{1/2}$ y $\int t^{1/2}dt = \frac{2}{3}t^{3/2}$ . Intentar integrar la raíz "a ojo" es donde aparecen los $\frac{3}{2}$ y $\frac{2}{3}$ cambiados de sitio.