Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2014 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2. [2,5 puntos] Calcula

\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2x^{2}-2x-4}\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;2x^{2}-2x-4 = 2(x-2)(x+1); \quad \text{raíces } 2 \text{ y } -1 \text{ fuera de } [0,1]\;}

\boxed{\;\frac{x^{2}}{2x^{2}-2x-4} = \frac12+\frac{2}{3(x-2)}-\frac{1}{6(x+1)}\;}

\boxed{\;F(x) = \frac x2+\frac23\ln\lvert x-2\rvert-\frac16\ln\lvert x+1\rvert\;}

\boxed{\;\int_{0}^{1} = \left(\frac12-\frac{\ln2}{6}\right)-\frac{2\ln2}{3} = \frac12-\frac{5\ln2}{6} \approx -0{,}078\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Integral racional definida con numerador y denominador del mismo grado: hay que dividir antes de descomponer en fracciones simples.

Después se factoriza el denominador (dos raíces reales simples,

x=2

x=-1

) y se aplica la regla de Barrow.

Detalle importante: las raíces del denominador son

2

-1

, fuera del intervalo

[0,1]

, así que la integral está bien definida (no es impropia).

Desarrollo

Factorización del denominador.

2x^{2}-2x-4 = 2\bigl(x^{2}-x-2\bigr) = 2\,(x-2)(x+1)

Las raíces

2

-1

no están en

[0,1]

: la función es continua en todo el intervalo.

La división. Numerador y denominador tienen grado

2

\frac{x^{2}}{2x^{2}-2x-4} = \frac{1}{2}+\frac{x^{2}-\bigl(x^{2}-x-2\bigr)}{2\bigl(x^{2}-x-2\bigr)} = \frac{1}{2}+\frac{x+2}{2\,(x-2)(x+1)}

Fracciones simples.

\frac{x+2}{2\,(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1} \;\Longrightarrow\; \frac{x+2}{2} = A(x+1)+B(x-2)

x = 2: \quad \frac42 = 2 = 3A \;\Longrightarrow\; A = \frac23

x = -1: \quad \frac12 = -3B \;\Longrightarrow\; B = -\frac16

El integrando descompuesto.

\frac{x^{2}}{2x^{2}-2x-4} = \frac12+\frac{2}{3(x-2)}-\frac{1}{6(x+1)}

La primitiva.

F(x) = \frac{x}{2}+\frac{2}{3}\ln\lvert x-2\rvert-\frac{1}{6}\ln\lvert x+1\rvert

Regla de Barrow.

F(1) = \frac12+\frac23\ln 1-\frac16\ln 2 = \frac12-\frac{\ln 2}{6}

F(0) = 0+\frac23\ln 2-\frac16\ln 1 = \frac{2\ln 2}{3}

\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{2x^{2}-2x-4}\,dx = \left(\frac12-\frac{\ln2}{6}\right)-\frac{2\ln2}{3} = \frac12-\frac{5\ln 2}{6}

\approx 0{,}5-0{,}578 = -0{,}078

(El resultado es negativo, y tiene sentido: en $[0,1]$ el denominador $2(x-2)(x+1)$ es negativo, luego el integrando también.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Divide primero. Con grados iguales, las fracciones simples no se aplican directamente: hay que extraer la parte entera ( $\frac12$ aquí) antes de descomponer.

Comprueba que las raíces del denominador no caen dentro del intervalo de integración. Si cayeran, la integral sería impropia y el planteamiento cambiaría por completo.

Que el resultado salga negativo no es un error: el integrando es negativo en todo $[0,1]$ . Una integral definida no es un área salvo que la función sea positiva.