Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Integrales

Andalucía · 2013 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 2.

a) [2 puntos] Determina la función

f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}

tal que

f'(x) = (2x+1)\,e^{-x}

y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.

b) [0,5 puntos] Calcula la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;u = 2x+1, \ dv = e^{-x}dx \;\Longrightarrow\; v = -e^{-x}\;}

\boxed{\;f(x) = -(2x+1)e^{-x}+\int 2e^{-x}dx = -(2x+3)e^{-x}+K\;}

\boxed{\;f(0) = 0 \;\Longrightarrow\; K = 3: \quad f(x) = 3-(2x+3)e^{-x}\;}

\boxed{\;\text{b) } f(0) = 0, \ f'(0) = 1: \quad y = x\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Se integra $f'$ por partes, con el polinomio en $u$ (para que se derive y baje de grado) y la exponencial en $dv$ . Después se ajusta la constante con $f(0) = 0$ .

Cuidado con el signo:

\;\int e^{-x}dx = -e^{-x}

b) La pendiente ya la tenemos: es $f'(0)$ , y $f'$ viene dada en el enunciado. Solo hay que sustituir.

Desarrollo

a) Integración por partes.

u = 2x+1 \;\Longrightarrow\; du = 2\,dx \qquad dv = e^{-x}dx \;\Longrightarrow\; v = -e^{-x}

f(x) = \int(2x+1)e^{-x}dx = -(2x+1)e^{-x}+\int 2e^{-x}dx

= -(2x+1)e^{-x}-2e^{-x}+K = -(2x+3)\,e^{-x}+K

(Se han agrupado los dos términos: $-(2x+1)-2 = -(2x+3)$ .)

La constante. Imponiendo

f(0) = 0

-(0+3)e^{0}+K = -3+K = 0 \;\Longrightarrow\; K = 3

f(x) = 3-(2x+3)\,e^{-x}

Comprobación (derivando).

f'(x) = -\Bigl[2e^{-x}+(2x+3)(-e^{-x})\Bigr] = -e^{-x}\bigl[2-2x-3\bigr] = -e^{-x}\bigl(-2x-1\bigr) = (2x+1)e^{-x} \;\checkmark

f(0) = 3-3 = 0 \;\checkmark

b) La tangente en $x = 0$ .

f(0) = 0 \qquad f'(0) = (0+1)\,e^{0} = 1

y-0 = 1\,(x-0) \;\Longrightarrow\; y = x

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$\int e^{-x}dx = -e^{-x}$ , con signo menos. Ese menos aparece dos veces (en $v$ y en la integral que queda) y es donde se pierden más puntos.

Agrupa los términos al final: $-(2x+1)e^{-x}-2e^{-x} = -(2x+3)e^{-x}$ . La expresión queda más limpia y la constante sale de un vistazo.

En b) no derives otra vez: $f'$ es el dato del enunciado, así que $f'(0) = 1$ es inmediato. Es el apartado más rápido de todo el examen.