Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} la función definida por f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x+d Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica: - El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f. - f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1. - La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 1.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. [2,5 puntos] Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

f(x) = a x^{3}+b x^{2}+c x+d

Calcula los valores de

a

b

c

d

sabiendo que

f

verifica:

El punto $(0,1)$ es un punto de inflexión de la gráfica de $f$ .
$f$ tiene un mínimo local en el punto de abscisa $x = 1$ .
La recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$ tiene pendiente $1$ .

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Resultado

\boxed{\;f(0) = 1 \Rightarrow d = 1; \qquad f''(0) = 2b = 0 \Rightarrow b = 0\;}

\boxed{\;f'(1) = 3a+c = 0; \qquad f'(2) = 12a+c = 1\;}

\boxed{\;9a = 1 \Rightarrow a = \tfrac19, \quad c = -\tfrac13\;}

\boxed{\;f(x) = \frac{x^{3}}{9}-\frac{x}{3}+1 \qquad \bigl(f''(1) = \tfrac23>0\ \checkmark\bigr)\;}

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Estrategia

Cuatro incógnitas, cuatro condiciones. Cada frase se traduce en una ecuación:

"pasa por $(0,1)$ " $\Rightarrow f(0) = 1$ ,
"inflexión en $x=0$ " $\Rightarrow f''(0) = 0$ ,
"mínimo local en $x=1$ " $\Rightarrow f'(1) = 0$ ,
"pendiente $1$ en $x=2$ " $\Rightarrow f'(2) = 1$ .

Las dos primeras son inmediatas (

d

b

); las dos últimas dan un sistema

2\times2

a

c

Desarrollo

Las derivadas.

f'(x) = 3a x^{2}+2b x+c \qquad f''(x) = 6a x+2b

1) Pasa por $(0,1)$ .

f(0) = d = 1

2) Inflexión en $x = 0$ .

f''(0) = 2b = 0 \;\Longrightarrow\; b = 0

3) Mínimo local en $x = 1$ .

f'(1) = 3a+2b+c = 3a+c = 0

4) Pendiente $1$ en $x = 2$ .

f'(2) = 12a+4b+c = 12a+c = 1

Restando (4) menos (3):

9a = 1 \;\Longrightarrow\; a = \frac19 \;\Longrightarrow\; c = -3a = -\frac13

a = \frac19, \qquad b = 0, \qquad c = -\frac13, \qquad d = 1

f(x) = \frac{x^{3}}{9}-\frac{x}{3}+1

Comprobaciones.

f(0) = 1 \;\checkmark \qquad f''(x) = \frac{2x}{3} \;\Longrightarrow\; f''(0) = 0 \;\checkmark

f'(x) = \frac{x^{2}}{3}-\frac13 \;\Longrightarrow\; f'(1) = 0 \;\checkmark \quad \text{y} \quad f'(2) = \frac43-\frac13 = 1 \;\checkmark

¿Es realmente un mínimo? Sí:

f''(1) = \frac23 > 0 \;\checkmark

(Y la inflexión es genuina: $f'''(x) = \frac23 \neq 0$ , luego $f''$ cambia de signo en $x=0$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Traduce cada guion del enunciado en una ecuación antes de calcular. "Punto de inflexión en $(0,1)$ " son dos condiciones: $f(0)=1$ y $f''(0)=0$ .

De "mínimo local en $x=1$ " solo se usa $f'(1) = 0$ . Que sea mínimo y no máximo hay que comprobarlo al final con $f''(1)>0$ : es parte de la justificación.

Resuelve en el orden más económico: $d$ y $b$ salen solos, y las otras dos condiciones dejan un sistema $2\times2$ que se resuelve restando.