Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 1. Sea

f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}

la función definida por

\;f(x) = x^{2}\,|x-3|

.

a) [1 punto] Estudia la continuidad y derivabilidad de

f

.

b) [1,5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de

f

. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;f(x) = \begin{cases} 3x^{2}-x^{3} & x\leq3 \\ x^{3}-3x^{2} & x>3\end{cases} \quad \text{continua en } \mathbb{R}\;}

\boxed{\;f'(3^{-}) = -9 \neq 9 = f'(3^{+}) \;\Longrightarrow\; \text{derivable en } \mathbb{R}\setminus\{3\}\;}

\boxed{\;\text{Crece en } (0,2)\cup(3,\infty); \ \text{decrece en } (-\infty,0)\cup(2,3)\;}

\boxed{\;\text{Mín. } (0,0) \text{ y } (3,0); \quad \text{Máx. } (2,4)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto parte la función en

x = 3

f(x) = \begin{cases} x^{2}(3-x) = 3x^{2}-x^{3} & \text{si } x\leq3 \\ x^{2}(x-3) = x^{3}-3x^{2} & \text{si } x>3\end{cases}

Son dos trozos de cúbica, así que dentro de cada tramo todo es elemental. El único punto delicado es el empalme

x=3

, donde hay que comparar las derivadas laterales.

Ojo en b): el punto

x=3

no es derivable, pero sí puede ser un extremo relativo (basta con que

f'

cambie de signo).

Desarrollo

a) Continuidad y derivabilidad.

Continuidad en $x = 3$ :

\lim_{x\to3^{-}}\bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr) = 27-27 = 0 \qquad \lim_{x\to3^{+}}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr) = 27-27 = 0 = f(3)

\textbf{Continua en todo } \mathbb{R} \ \text{(en el resto es polinómica)}

Derivabilidad en $x = 3$ :

f'(x) = \begin{cases} 6x-3x^{2} & \text{si } x<3 \\ 3x^{2}-6x & \text{si } x>3\end{cases}

f'(3^{-}) = 18-27 = -9 \qquad f'(3^{+}) = 27-18 = 9

-9 \neq 9 \;\Longrightarrow\; \textbf{No derivable en } x = 3 \quad \text{(punto anguloso)}

\textbf{Derivable en } \mathbb{R}\setminus\{3\}

b) Crecimiento y extremos.

Tramo $x<3$ :

\;f'(x) = 6x-3x^{2} = 3x\,(2-x)

, que se anula en

x=0

x=2

\begin{array}{c|c|c|c} & (-\infty,0) & (0,2) & (2,3) \\ \hline 3x & - & + & + \\ \hline 2-x & + & + & - \\ \hline f' & - & + & - \end{array}

Tramo $x>3$ :

\;f'(x) = 3x^{2}-6x = 3x\,(x-2) > 0

(ambos factores positivos si

x>3

\textbf{Crece en } (0,2)\cup(3,+\infty) \qquad \textbf{Decrece en } (-\infty,0)\cup(2,3)

Los extremos relativos.

x = 0: \ f' \text{ pasa de } - \text{ a } + \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo relativo}, \quad f(0) = 0

x = 2: \ f' \text{ pasa de } + \text{ a } - \;\Longrightarrow\; \textbf{máximo relativo}, \quad f(2) = 4\cdot1 = 4

x = 3: \ f' \text{ pasa de } - \text{ a } + \;\Longrightarrow\; \textbf{mínimo relativo}, \quad f(3) = 0

(En $x=3$ la función no es derivable, pero el cambio de signo de $f'$ garantiza que hay un mínimo: es un "pico hacia abajo".)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Un punto no derivable puede ser extremo. En $x=3$ hay un pico, y como $f'$ cambia de $-$ a $+$ , es un mínimo relativo. Descartarlo por no ser derivable es un error frecuente.

Al partir la función, comprueba que las dos expresiones coinciden en el empalme: aquí ambas valen $0$ en $x=3$ , lo que garantiza la continuidad.

Nota que $f(x) = x^{2}|x-3| \geq 0$ siempre: los dos mínimos valen $0$ y son, de hecho, mínimos absolutos. Es una comprobación rápida del resultado.