Integrales

a) Puntos de corte.$$x^{3} + 2 = -x^{2} + 2x + 2 \;\Longrightarrow\; x^{3} + x^{2} - 2x = 0 \;\Longrightarrow\; x\bigl(x^{2} + x - 2\bigr) = 0$$$$x\,(x + 2)(x - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0, \quad x = 1, \quad x = -2$$Las ordenadas correspondientes:$$f(0) = 2, \qquad f(1) = 3, \qquad f(-2) = -8 + 2 = -6$$Los tres puntos de corte son$$(-2, -6), \qquad (0, 2), \qquad (1, 3)$$Esbozo. $f$ es una cúbica creciente (su derivada $3x^{2} \geq 0$), que corta al eje $OY$ en $(0,2)$ y al eje $OX$ en $x = -\sqrt[3]{2} \approx -1{,}26$. $g$ es una parábola invertida con vértice en $x = 1$ (donde $g' = -2x+2 = 0$), es decir en $(1, 3)$, y corta al eje $OY$ también en $(0,2)$.

Las dos curvas se cortan en $(0,2)$ (no son tangentes: $f'(0) = 0$ y $g'(0) = 2$), se separan y vuelven a encontrarse en $(1,3)$, que es justo el vértice de la parábola.

Qué función va por encima. En $x = 0{,}5$:$$f(0{,}5) = 0{,}125 + 2 = 2{,}125, \qquad g(0{,}5) = -0{,}25 + 1 + 2 = 2{,}75$$Gana $g$: la parábola está por encima de la cúbica en $(0, 1)$.

b) Área en el primer cuadrante. El recinto útil es el comprendido entre $x = 0$ y $x = 1$ (el otro, entre $x=-2$ y $x=0$, tiene $x < 0$ y queda en el segundo y el tercer cuadrante). En todo ese tramo tanto $x$ como $y$ son positivos, así que efectivamente está en el primer cuadrante.$$A = \int_{0}^{1}\bigl(g(x) - f(x)\bigr)dx = \int_{0}^{1}\Bigl(-x^{2} + 2x + 2 - x^{3} - 2\Bigr)dx = \int_{0}^{1}\Bigl(-x^{3} - x^{2} + 2x\Bigr)dx$$$$= \left[-\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{-3 - 4 + 12}{12} = \frac{5}{12}$$$$A = \frac{5}{12} \approx 0{,}42 \ \text{unidades cuadradas}$$