Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Límites y continuidad

Andalucía · 2013 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 1. Sea

f

la función definida por

f(x) = x\,e^{\frac{1}{x}}

para

x\geq-1

x\neq0

.

a) [1 punto] Calcula los límites laterales de

f

x = 0

.

b) [1,5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de

f

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x\to0^{-}: \ \tfrac1x\to-\infty, \ e^{1/x}\to0 \;\Longrightarrow\; \lim f = 0\;}

\boxed{\;x\to0^{+}: \ \lim\frac{e^{1/x}}{1/x} = \lim_{u\to\infty}\frac{e^{u}}{u} = +\infty\;}

\boxed{\;\text{A.V. } x = 0 \ (\text{solo por la derecha})\;}

\boxed{\;m = \lim e^{1/x} = 1, \quad n = \lim x\bigl(e^{1/x}-1\bigr) = 1: \quad \text{A. oblicua } y = x+1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La clave está en el exponente

\frac1x

, que se comporta de forma radicalmente distinta por cada lado:

x\to0^{-} \;\Longrightarrow\; \frac1x\to-\infty \;\Longrightarrow\; e^{1/x}\to 0

x\to0^{+} \;\Longrightarrow\; \frac1x\to+\infty \;\Longrightarrow\; e^{1/x}\to+\infty

Por la izquierda el producto tiende a

0\cdot 0 = 0

(sin indeterminación); por la derecha es

0\cdot\infty

, y hay que resolverlo.

Para las asíntotas, el dominio es

[-1,0)\cup(0,+\infty)

: solo hay que estudiar $x=0$ y $+\infty$ (no

-\infty

, que está fuera del dominio).

Desarrollo

a) Los límites laterales en $x = 0$ .

Por la izquierda:

\;x\to0^{-}

, luego

\frac1x\to-\infty

e^{1/x}\to0

\lim_{x\to0^{-}}x\,e^{1/x} = 0\cdot 0 = 0

Por la derecha:

\;x\to0^{+}

, luego

\frac1x\to+\infty

e^{1/x}\to+\infty

. Indeterminación

0\cdot\infty

; la convertimos en

\frac{\infty}{\infty}

\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{1/x}}{1/x} \overset{u = 1/x \to +\infty}{=} \lim_{u\to+\infty}\frac{e^{u}}{u} = +\infty

(La exponencial gana al polinomio.)

\lim_{x\to0^{-}}f(x) = 0 \qquad \lim_{x\to0^{+}}f(x) = +\infty

b) Las asíntotas.

Asíntota vertical. Por el límite anterior:

\textbf{A.V.: } x = 0, \text{ solo por la derecha } (f\to+\infty)

Comportamiento en $+\infty$ . Ahora

\frac1x\to0

e^{1/x}\to1

\lim_{x\to+\infty}x\,e^{1/x} = +\infty

No hay asíntota horizontal. ¿Oblicua?

m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}e^{1/x} = e^{0} = 1

n = \lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-x\bigr] = \lim_{x\to+\infty}x\left(e^{1/x}-1\right)

Con el cambio

u = \frac1x\to0^{+}

, esto es

\lim_{u\to0^{+}}\frac{e^{u}-1}{u} = 1

(es la derivada de $e^{u}$ en $u=0$ , o bien L'Hôpital).

\textbf{A. oblicua: } y = x+1 \text{ cuando } x\to+\infty

(No hay que estudiar $-\infty$ : el dominio empieza en $x=-1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El exponente $\frac1x$ se comporta de forma opuesta por cada lado de $0$ . Por la izquierda no hay indeterminación ( $0\cdot0$ ); por la derecha sí ( $0\cdot\infty$ ), y hay que resolverla.

El cambio $u = \frac1x$ convierte los dos límites difíciles en límites clásicos: $\lim\frac{e^{u}}{u} = \infty$ y $\lim\frac{e^{u}-1}{u} = 1$ . Es el atajo del ejercicio.

El dominio es $[-1,0)\cup(0,\infty)$ : no estudies $-\infty$ , no forma parte del problema. Perder tiempo ahí, o afirmar que hay asíntota por ese lado, resta.